S = 1 + 2 1 + 3 1 + 4 1 + ... + 2012 1 + 2013 1 − 2 2 1 + 4 1 + 6 1 + ... + 2012 1 S = 1 + 2 1 + 3 1 + ... + 2012 1 + 2013 1 − 1 − 2 1 − 3 1 − ... − 1006 1 S = 1007 1 + 1008 1 + ... + 2012 1 + 2013 1 = P =>(S-P)2013=02013=0

a, 5M = 5+1+1/5+1/5^2+.....+1/5^2011

4M=5M-M=(5+1+1/5+1/5^2+.....+1/5^2011)-(1+1/5+1/5^2+.....+1/5^2012)

               = 5-1/5^2012

=> M = (5 - 1/5^2012)/4

Tk mk nha

Vì trong tích 1.2.3.....2012 có thừa số 671 và thừa số 3 nên tích sẽ chia hết cho 2013.

=> A chia hết cho 2013

 chắc chắn đúng 100% h cho mình nếu bạn thấy đúng

cái đó thì quá dễ rồi nhưng nếu ai biến đổi vế bên kia thì tui k cho

1) \(x^2-6y^2=1\)

=> \(x^2-1=6y^2\)

=> \(y^2=\frac{x^2-1}{6}\)

Nhận thấy y^2 thuộc Ư của \(\dfrac{x^2-1}{6}\)

=> \(y^2\) là số chẵn.

Mà y là số nguyên tố.

=> y = 2.

Thay vào:

=> \(x^2-1=\dfrac{4}{6}=24\)

=> \(x^2=25\)

=> \(x=5\)

Vậy: x = 5; y = 2.

      Đây là toán nâng cao chuyên đề chia hết, cấu trúc thi chuyên, thi học sinh giỏi các cấp. Hôm nay, Olm sẽ hướng dẫn các em giải chi tiết dạng này bằng phương pháp đánh giá như sau:

         Bài 1: CM A = n² + n + 6 ⋮ 2 

+ TH1: Nếu n là số chẵn ta có: n = 2k (k \(\in\) N)

  Khi đó: A = (2k)² + 2k + 6 

              A = 4k² + 2k + 6

             A =  2.(2k² + k + 3)  ⋮ 2

+ TH2: Nếu n là số lẻ ta có: n²; n đều là số lẻ

         Suy ra n² + n là chẵn vì tổng của hai số lẻ luôn là số chẵn

            ⇒  A = n² + n + 6 là số chẵn 

                A = n² + n + 6 ⋮ 2

+ Từ các lập luận trên ta có: A = n² + n + 6 ⋮ 2 \(\forall\) n \(\in\) N

Đây là dạng toán nâng cao chuyên đề tính chất chia hết của một tổng, cấu trúc thi chuyên, thi học sinh giỏi các cấp. Hôm nay, Olm sẽ hướng dẫn các em giải chi tiết dạng này bằng phương pháp quy nạp toán học như sau:

Bài 2: CM:  A = n³ + 5n ⋮6 ∀ \(n\) \(\in\) N

          Với n = 1 ta có: A = 1³ + 1.5 

                A = 1 + 5 = 6 ⋮ 6

          Giả sử A đúng với n = k (k \(\in\) N)

          Khi đó ta có: A  = k³ + 5k ⋮ 6 \(\forall\) k \(\in\) N ⁽¹⁾

          Ta cần chứng minh A = n³ + 5n ⋮ 6 với n = k  + 1

          Tức là ta cần chứng minh: A = (k + 1)³ + 5.(k + 1) ⋮ 6

Thật vậy với n = k + 1 ta có: 

       A = (k  + 1)³ + 5(k + 1) 

      A = (k  +1).(k  + 1)(k + 1) + 5.(k  +1)

     A = (k² + k + k  +1).(k + 1) + 5k  +5

     A =  [k² + (k + k) + 1].(k + 1) + 5k + 5

    A = [k² + 2k + 1].(k + 1) + 5k + 5

   A = k³ + k² + 2k² + 2k + k  +1  +5k  +5

   A  = (k³ + 5k) + (k² + 2k²) + (2k + k) + (1 + 5) 

    A = (k³ + 5k) + 3k² + 3k + 6

   A = (k³ + 5k) + 3k(k +1) + 6

   k.(k  +1) là tích của hai số liên tiếp nên luôn chia hết cho 2

 ⇒ 3.k.(k + 1) ⋮ 6 ⁽²⁾

     6 ⋮ 6 ⁽³⁾

Kết hợp (1); (2) và (3) ta có:

    A = (k³ + 5k) + 3k(k + 1) + 6 ⋮ 6 ∀ k \(\in\) N

Vậy A = n³ + 5n ⋮ 6 \(\forall\) n \(\in\) N (đpcm)