S= u₁.u₁ + u₂.u₂+...+u_n.u_n 

S = u₁.(u₂ - d) + u₂.(u₃ - d)+...+u_n(u_n+1 - d)

S = u₁.u₂ + u₂.u₃ +...+u_n.u_n+1-d(u₁+u₂+...+u_n)

Đặt A = u₂.u₃ + u₃.u₄+...+u_n.u_n+1

3d.A = u₂.u₃.(u₄-u₁) + u₃.u₄.(u₅-u₂)+...+u_n.u_n+1.(u_n+2-u_n-1) 

3d.A = u₂.u₃.u₄ - u₁.u₂.u₃ + u₃.u₄.u₅ - u₂.u₃.u₄+...+u_n.u_n+1.u_n+2 - u_n-1.u_n.u_n+1

3d.A = u_n.u_n+1.u_n+2 - u₁.u₂.u₃

3d.A = (u₁ + d.n - d)(u₁ + d.n)(u₁ + d.n + d) - u₁.(u₁+d).(u₁+2.d) 

A = [(u₁ + d.n - d)(u₁ + d.n)(u₁ + d.n + d) - u₁.(u₁+d).(u₁+2.d)]/(3.d) 

S = A + u₁.(u₁ + d) + d[2.u₁+(n-1).d].n/2 

Gọi \(\overline{a_1a_2a_3a_4a_5a_6}\) là dãy số tự nhiên cần tìm:

ta có \(a_1+a_2+a_3=a_4+a_5+a_6+1\)

mà \(a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=21\)

\(\Rightarrow a_4+a_5+a_6=10\)

các bộ ba số có tổng là 10

\(\left(1,3,6\right);\left(1,4,5\right);\left(2,3,5\right)\)

vì \(a_6\) là số chẵn

\(\Rightarrow\overline{a_4a_5a_6}=2.2.2=8\)

\(\overline{a_1a_2a_3}=3!\)

QTN \(8.3!=48\) số

\(\left\{{}\begin{matrix}u_1+u_1+6d=8\\u_1+3d+u_1+4d=11\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2u_1+6d=8\\2u_1+7d=11\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}d=3\\u_1=-5\end{matrix}\right.\)

\(S=u_1+7d+u_1+9d+...+u_1+35d\)

\(S=15u_1+\left(7+9+...+35\right)d=15u_1+308d=849\)

Bài 3: 

a: Gọi số cần tìm là \(\overline{abcdefg}\) 

a có 7 cách

b có 7 cách

c có 6 cách

d,e,f,g lần lượt có 5,4,3,2 cách

=>Số cách là 7x7x6x5x4x3x2(cách)

c: Gọi số cần tìm là \(\overline{abcdef}\)

a có 7 cách

b có 7 cách

c có 6 cách

d,e,f lần lượt có 5,4,3 cáhc

=>Số cáhc là 7x7x6x5x4(cách)

b: Gọi số cần tìm là \(\overline{abc}\)

a có 4 cách chọn 

b có 3 cách chọn

c có 2 cách chọn

=>Số cách chọn là 4x3x2=24(cách)

Thay $n=3$ ta có: \(\left\{\begin{matrix} \frac{U_3-U_1}{3}=1\\ U_1-U_3=-4\end{matrix}\right.\) (vô lý)

Bạn xem lại đề.

Công sai d có thể xác định bằng công thức:

\(-4=U_1-U_3=U_1-(U_2+d)=U_1-(U_1+d+d)=-2d\)

\(\Rightarrow d=2\)

Lời giải:

a) Theo tính chất về cấp số cộng là \(u_k=\frac{u_{k-1}+u_{k+1}}{2}\) thì có:

\(\left\{\begin{matrix} y=\frac{4+4x}{2}=2x+2\\ 2y=\frac{10+14}{2}=12\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} y=6\\ x=2\end{matrix}\right.\)

Vậy ta thu được dãy $(u_n)$: \(2,4,6,8,10,12,14,.....\) với \(u_n=2n\)

\(S_n=u_1+u_2+...+u_n=2.1+2.2+2.3+...+2n\)

\(=2(1+2+3+...+n)=2.\frac{n(n+1)}{2}=n(n+1)\)

Để \(S_n=420\Rightarrow n(n+1)=420\)

\(\Rightarrow n=20\)

Do đó \(U_n=U_{20}=2.20=40\)

3,\(\lim\limits\frac{3^n-4\times2^{n+1}-3}{3\times2^n+4^n}\)

Dấu ngoặc bạn sử dụng đấu ngoặc trên bàn phím đó, hoặc ô thứ 4 từ phải sang trên cửa sổ gõ công thức

\(lim\left(3^4.2^{n+1}-5.3^n\right)=lim\left[3^n\left(2.3^4\left(\frac{2}{3}\right)^n-5\right)\right]=+\infty\left(0-5\right)=-\infty\)

\(lim\frac{\left(n-2\right)^7\left(2n+1\right)^3}{\left(n^2+2\right)^5}=lim\frac{n^7\left(1-\frac{2}{n}\right)^7.n^3\left(2+\frac{1}{n}\right)^3}{n^{10}\left(1+\frac{2}{n^2}\right)^5}=lim\frac{\left(1-\frac{2}{n}\right)^7\left(2+\frac{1}{n}\right)^3}{\left(1+\frac{2}{n^2}\right)^5}=\frac{1.2}{1}=2\)

\(lim\frac{3^n-8.2^n-3}{3.2^n+4^n}=lim\frac{\left(\frac{3}{4}\right)^n-8\left(\frac{2}{4}\right)^n-3\left(\frac{1}{4}\right)^n}{3\left(\frac{2}{4}\right)^n+1}=\frac{0}{1}=0\)