a. tính dễ 

b. tam giác ABO đồng dạng tam giác CDO => OB/OD = OA/OC

Tính được OA,OB,OD => OC => tính được AC

c. Sabcd = S tam giác ABD + S tam giác BDC

Xét tam giác \(ABD\)vuông tại \(A\):

\(BD^2=AB^2+AD^2\)(định lí Pythagore) 

\(=4^2+10^2=116\)

\(\Rightarrow BD=\sqrt{116}=2\sqrt{29}\left(cm\right)\)

Lấy \(E\)thuộc \(CD\)sao cho \(AE\perp AC\)

Suy ra \(ABDE\)là hình bình hành. 

\(AE=BD=2\sqrt{29}\left(cm\right),DE=AB=4\left(cm\right)\).

Xét tam giác \(AEC\)vuông tại \(A\)đường cao \(AD\):

\(\frac{1}{AD^2}=\frac{1}{AE^2}+\frac{1}{AC^2}\Leftrightarrow\frac{1}{AC^2}=\frac{1}{AD^2}-\frac{1}{AE^2}=\frac{1}{100}-\frac{1}{116}=\frac{1}{715}\)

\(\Rightarrow AC=\sqrt{715}\left(cm\right)\)

\(AE^2=ED.EC\Leftrightarrow EC=\frac{AE^2}{ED}=\frac{116}{4}=29\left(cm\right)\)suy ra \(DC=25\left(cm\right)\)

Hạ \(BH\perp CD\).

\(BC^2=HC^2+BH^2=21^2+10^2=541\Rightarrow BC=\sqrt{541}\left(cm\right)\)

\(S_{ABCD}=\left(AB+CD\right)\div2\times AD=\frac{4+25}{2}\times10=145\left(cm^2\right)\)

a) Ta có hình thang vuông ABCD, nên ta có: AB^2 + BC^2 = AC^2 AD^2 + DC^2 = AC^2

Vì AB = 15cm, AD = 20cm và ABCD là hình thang vuông, nên ta có: 15^2 + BC^2 = AC^2 20^2 + DC^2 = AC^2

Vì 2 đường chéo AC và BD vuông góc tại O, nên ta có: OB^2 + BC^2 = OC^2 OD^2 + DC^2 = OC^2

Vì ABCD là hình thang vuông, nên ta có: OB^2 + BC^2 = OD^2 + DC^2

Từ hai phương trình trên, ta có thể suy ra OB = OD.

b) Ta có thể tính đường chéo AC bằng cách sử dụng định lí Pythagoras trên tam giác vuông AOC: AC^2 = AO^2 + OC^2

Vì OB = OD, nên ta có AO = OD = OB.

Vậy, ta có: AC^2 = OB^2 + OC^2

c) Để tính diện tích SABCD, ta có thể sử dụng công thức

a: ΔABD vuông tại A

=>BD^2=AB^2+AD^2=625

=>BD=25cm

ΔABD vuông tại A có AO là đường cao

nên BO*BD=BA^2 và DO*DB=DA^2 và AO^2=OD*OB

=>BO=15^2/25=9cm; DO=20^2/25=16cm; AO^2=9*16=144

=>AO=12cm

b: Xét ΔOAB vuông tại O và ΔOCD vuông tại O có

góc OAB=góc OCD

=>ΔOAB đồng dạng với ΔOCD

=>OA/OC=OB/OD

=>9/16=12/OC

=>OC=16*12/9=16*4/3=64/3cm

AC=12+64/3=100/3cm

c: \(S_{ABCD}=\dfrac{1}{2}\cdot AC\cdot BD=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{100}{3}\cdot25=\dfrac{50}{3}\cdot25=\dfrac{1250}{3}\left(cm^2\right)\)