ta xét hai khả năng

1. nếu\(n⋮3\) thì \(\left(n^3+2n\right)⋮3\)

2.nếu n không chia hết cho 3 thì n có dạng \(n=3k+1\) hoặc n=3k+2

với k thuộc N

Với \(n=3k+1:\left(n^3+2n\right)=\left(3k+1\right)^3+2\left(3k+1\right)\)

\(=27k^3+27k^2+9k+1+6k+2=3\left(9k^3+9k^2+5k+1\right)⋮3\)

Với \(n=3k+2⋮\left(n^3+2n\right)=\left(3k+2\right)^3+2\left(3k+2\right)\)

\(=27k^3+54k^2+36k+8+6k+4=3\left(9k^3+18k^2+14k+4\right)⋮3\)

mệnh đề được chứng minh

a)Đặt \(A=8^5+2^{11}\)

\(A=\left(2^3\right)^5+2^{11}\)

\(A=2^{15}+2^{11}\)

\(A=2^{11}\left(2^4+1\right)\)

\(A=2^{11}\cdot17⋮17\left(đpcm\right)\)

ta có 4x - 3y = 19x - 3.(5x + y) 

Vì 19x chia hết cho 19;

5x + y chia hết cho 19 nên 3(5x + y) chia hết cho 19

do đó 19x - 3(5x + y) chia hết cho 19 hay 4x - 3y chia hết cho 19

vì 5x+y : 19 nên

5x:19 =>x:19=>4x:19(1)

y:19 =>3y:19 (2)

từ 1 và 2 ta có

4x-3y:19

(dấu : là chia hết)

bài này thử là nhanh nhất (hi hi , mình đùa vui thôi chứ minh ko bít làm)

Câu a) a chia 13 dư 2 thì a² chia 13 dư 4

b chia 13 dư 3 thì b² chia 13 dư 9. Vậy a² + b² chia hết cho 13

Câu b) tương tự nhé bạn.

a: \(=\left(328+172\right)\left(328^2+328\cdot172+172^2\right)\)

\(=5000\cdot4\left(26896+328\cdot43+7396\right)⋮20000\)

b: \(=69\left(69-5\right)=69\cdot64⋮32\)