a) Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p là số lẻ

hay p-1 và p+1 là số chẵn

hay \(\left(p-1\right)\left(p+1\right)⋮8\)

Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p=3k+1(k∈N) hoặc p=3k+2(k∈N)

Khi p=3k+1 thì \(\left(p-1\right)\left(p+1\right)=\left(3k+1-1\right)\left(3k+1+1\right)=3k\left(3k+2\right)⋮3\)

Khi p=3k+2 thì \(\left(p-1\right)\left(p+1\right)=\left(3k+2-1\right)\left(3k+2+1\right)=\left(3k+1\right)\cdot3\cdot\left(k+1\right)⋮3\)

hay Với p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên \(\left(p-1\right)\left(p+1\right)⋮3\)

Ta có: \(\left(p-1\right)\left(p+1\right)⋮3\)(cmt)

\(\left(p-1\right)\left(p+1\right)⋮8\)(cmt)

mà (3;8)=1

nên \(\left(p-1\right)\left(p+1\right)⋮3\cdot8=24\)(đpcm) 

Theo đb ta có: P là nguyên tố lớn hơn  3

Suy ra: P không chia hết cho 2 và 3

Ta lại có: P không chia hết cho 2 

Suy ra: (P-1) và (P+1) là hai số chẵn liên tiếp nhau

Suy ra: (P-1).(P+1) chia hết cho 8  (*)

vì tổng là bình phương của 1 số 

nên có dạng p^3 = p.p.p chia hết cho 7

chia hết cho p mà

1) 

+) a, b, c là các số nguyên tố lớn hơn 3

=> a, b, c sẽ có dạng 3k+1  hoặc 3k+2

=> Trong 3 số (a-b); (b-c); (c-a) sẽ có ít nhất một số chia hết cho 3

=> (a-b)(b-c)(c-a) chia hết cho 3 (1)

+) a,b,c là các số nguyên tố lớn hơn 3 

=> a, b, c là các số lẻ và không chia hết cho 4

=> a,b, c sẽ có dang: 4k+1; 4k+3

=> Trong 3 số (a-b); (b-c); (c-a) sẽ có ít nhất một số chia hết cho 4

th1: Cả 3 số chia hết cho 4

=> (a-b)(b-c)(c-a) chia hết cho 64   (2)

Từ (1); (2) => (a-b)(b-c)(c-a) chia hết cho 64.3=192  vì (64;3)=1

=> (a-b)(b-c)(c-a) chia hết cho 48

th2: Có 2 số chia hết cho 4, Số còn lại chia hết cho 2

=> (a-b)(b-c)(c-a) chia hết cho 32  (3)

Từ (1) , (3) 

=> (a-b)(b-c)(c-a) chia hết cho 32.3=96  ( vì (3;32)=1)

=>  (a-b)(b-c)(c-a) chia hết cho 48

Th3: chỉ có một số chia hết cho 4, hai số còn lại chia hết cho 2

=>  (a-b)(b-c)(c-a) chia hết cho 16

Vì (16; 3)=1

=>  (a-b)(b-c)(c-a) chia hết cho 16.3=48

Như vậy với a,b,c là số nguyên tố lớn hơn 3

thì  (a-b)(b-c)(c-a) chia hết cho 48

1.

\(x^4+4y^4=x^4+4x^2y^2+y^4-4x^2y^2=\left(x^2+2y^2\right)^2-\left(2xy\right)^2\)

\(=\left(x^2-2xy+2y^2\right)\left(x^2+2xy+2y^2\right)\)

Do x, y nguyên dương nên số đã cho là SNT khi:

\(x^2-2xy+2y^2=1\Rightarrow\left(x-y\right)^2+y^2=1\)

\(y\in Z^+\Rightarrow y\ge1\Rightarrow\left(x-y\right)^2+y^2\ge1\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=1\)

Thay vào kiểm tra thấy thỏa mãn

2. \(N=n^4+4^n\)

- Với n chẵn hiển nhiên N là hợp số

- Với \(n\) lẻ: \(\Rightarrow n=2k+1\)

\(N=n^4+4^n=n^4+4^{2k+1}=n^4+4.4^{2k}+4n^2.4^k-n^2.4^{k+1}\)

\(=\left(n^2+2.4^k\right)^2-\left(n.2^{k+1}\right)^2=\left(n^2+2.4^k-n.2^{k+1}\right)\left(n^2+2.4^k+n.2^{k+1}\right)\)

Mặt khác:

\(n^2+2.4^k-n.2^{k+1}\ge2\sqrt{2n^2.4^k}-n.2^{k+1}=2\sqrt{2}n.2^k-n.2^{k+1}\)

\(=n.2^{k+1}\left(\sqrt{2}-1\right)\ge2\left(\sqrt{2}-1\right)>1\)

\(\Rightarrow N\) là tích của 2 số dương lớn hơn 1

\(\Rightarrow\) N là hợp số

Bài 4 chắc không có cách "đại số" nào (tức là dựa vào lý luận chia hết tổng quát) để giải. Mình nghĩ vậy (có lẽ có, nhưng mình ko biết).

Chắc chỉ sáng lọc và loại trừ theo quy tắc kiểu: do đổi vị trí bất kì đều là SNT nên không thể chứa các chữ số chẵn và chữ số 5, như vậy số đó chỉ có thể chứa các chữ số 1,3,7,9

Nó cũng không thể chỉ chứa các chữ số  3 và 9 (sẽ chia hết cho 3)

Từ đó sàng lọc được các số: 113 (và các số đổi vị trí), 337 (và các số đổi vị trí)

BÀi 4 :VÌ p và 5 là 2 số nguyên tố cùng nhau nên p không chia hết cho 5 

Ta có P⁸ⁿ+3P⁴ⁿ-4 = p⁴ⁿ(p⁴ⁿ+3) -4 

Vì 1 số không chia hết cho 5 khi nâng lên lũy thừa 4n sẽ có số dư khi chia cho 5 là 1 

( cách chứng minh là đồng dư hay tìm chữ số tận cùng )

suy ra : P⁴ⁿ(P⁴ⁿ+3) -4 đồng dư với 1\(\times\)(1+3) -4 = 0 ( mod3) hay A chia hết cho 5

Bài 5

Ta xét :

Nếu p =3 thì dễ thấy 4P+1=9 là hợp số (1)

Nếu p\(\ne\)3 ; vì 2p+1 là số nguyên tố nên p không thể chia 3 dư 1 ( vì nếu p chia 3 duw1 thì 2p+1 chia hết cho 3 và 2p+1 lớn hơn 3 nên sẽ là hợp số trái với đề bài)

suy ra p có dạng 3k+2 ; 4p+1=4(3k+2)+1=12k+9 chia hết cho 3 và 4p+1 lớn hơn 3 nên là 1 hợp số (2)

Từ (1) và (2) suy ra 4p+1 là hợp số 

Giả sử (x;p) = 1 thì ta thấy (y,p) = 1

Ta có: \(x^2\equiv-y^2\left(mod\text{ p}\right)\)  

\(\Leftrightarrow x^{4k+2}\equiv-y^{4k+2}\left(mod\text{ p}\right)\)

\(\Leftrightarrow1\equiv-1\left(mod\text{ p}\right)\)(Định lí Fermat)

Do đó \(\left(x;p\right)\ne1\Rightarrow x⋮p\)và dễ thấy \(y⋮p\)(Đpmcm)

Bài 1) +Với n = 2, ta có 2² + 2² = 4 + 4 = 8, là hợp số, loại

+Với n = 3, ta có 2³ + 3² = 8 + 9 = 17, là số nguyên tố, chọn

+Với n > 3, do n nguyên tố nên n lẻ => n = 2k+1 ( k thuộc N*)

=> 2ⁿ = 2^2k+1 = 2^2k . 2 = (2^k)² . 2, do 2 không chia hết cho 3 => 2^k không chia hết cho => (2^k)² không chia hết cho 3

Mà (2^k)² là số chính phương nên (2^k)² chia 3 dư 1 => (2^k)² . 2 chia 3 dư 2.

Mặt khác n² không chia hết cho 3 do n nguyên tố > 3 nên n² chia 3 dư 1 => 2ⁿ + n² chia hết cho 3

Mà 1 < 3 < 2ⁿ + n² nên 2ⁿ + n² là hợp số, loại

Vậy n = 3

Bài 2) Do p nguyên tố không nhỏ hơn 5 nên p không chia hết cho 3 => p² không chia hết cho 3. Mà p² là số chính phương nên p² chia 3 dư 1 => p² - 1 chia hết cho 3 (1)

Do p nguyên tố không nhỏ hơn 5 nên p lẻ => p² lẻ => p² chia 8 dư 1 => p² - 1 chia hết cho 8 (2)

Từ (1) và (2), do (3,8)=1 nên p² - 1 chia hết cho 8

Chứng tỏ p² - 1 chia hết cho 8 với p nguyên tố không nhỏ hơn 5

m.n/(m^2+n^2 ) và m.n/2018
- Đặt (m,n)=d => m= da;n=db ; (a,b)=1
=> d^2(a^2+b^2)/(d^2(ab))  = (a^2+b^2)/(ab) => b/a ; a/b => a=b=> m=n=> ( 2n^2+2018)/n^2 =2 + 2018/n^2 => n^2/2018
=> m=n=1 ; lẻ và nguyên tố cùng nhau. vì d=1

Vẽ SH _I_ (ABCD) => H là trung điểm AD => CD _I_ (SAD) 
Vẽ HK _I_ SD ( K thuộc SD) => CD _I_ HK => HK _I_ (SCD) 
Vẽ AE _I_ SD ( E thuộc SD). 
Ta có S(ABCD) = 2a² => SH = 3V(S.ABCD)/S(ABCD) = 3(4a³/3)/(2a²) = 2a 
1/HK² = 1/SH² + 1/DH² = 1/4a² + 1/(a²/2) = 9/4a² => HK = 2a/3 
Do AB//CD => AB//(SCD) => khoảng cách từ B đến (SCD) = khoảng cách từ A đến (SCD) = AE = 2HK = 4a/3