a) Giao điểm của AH và BC là E. Dễ thấy: \(\Delta\)BHM = \(\Delta\)CKM (c.g.c) => ^HBM = ^KCM

=> ^HBC = ^KCB. Do H đối xứng với I qua BC => ^HBC = ^IBC => ^KCB = ^IBC (1)

Xét \(\Delta\)HIK: E là trung điểm IH; M là trung điểm của HK => EK là đường trung bình \(\Delta\)HIK

=> EM // IK hay IK // BC => Tứ giác BIKC là hình thang (2)

Từ (1) & (2) => Tứ giác BIKC là hình thang cân (đpcm).

b) Dễ c/m tứ giác BHCK là hình bình hành (Do có tâm đối xứng) => HC // BK

Hay HC // GK => Tứ giác GHCK là hình thang 

Để tứ giác GHCK là hình thang cân thì ^GHC = ^KCH

<=> ^HAC + ^HCA = ^HCB + ^HBC <=> ^HCA = ^HCB ( Vì ^HAC = ^HBC, cùng phụ ^ACB)

<=> CH là phân giác ^ACB. Mà CH cũng là đường cao của \(\Delta\)ABC => \(\Delta\)ABC cân tại C

Vậy khi \(\Delta\)ABC cân tại C thì tứ giác GHCK là hình thang cân.

a: Xét tứ giác BHCD có

M là trung điểm của BC

M là trung điểm của HD

Do đó: BHCD là hình bình hành

a: Xét tứ giác BHCD có 

M là trung điểm của BC

M là trung điểm của HD

Do đó: BHCD là hình bình hành

a: M đối xứng A qua BC

nên BC là trung trực của AM

=>BA=BM; CA=CM

mà BA=CA

nên BA=BM=CA=CM

=>ABMC là hình thoi

b: Xét tứ giác AHCI có

K là trung điểm chung của AC và HI

góc AHC=90 độ

Do đó: AHCI là hình chữ nhật

c: Xét ΔBAC có CH/CB=CK/CA

nen HK//AB và HK=AB/2

=>HK//AD và HK=AD

=>ADHK là hình bình hành

=>AH cắt DK tại trung điểm của mỗi đường(1)

Xét tứ giác AIHB có

AI//HB

AI=HB

Do đó: AIHB là hình bình hành

=>AH cắt IB tại trung điểm của mỗi đường(2)

Từ (1), (2) suy ra AH,IB,DK đồng quy

Bài 1

a/Xét tứ giác BHCD có M đồng thời là trung điểm của cả HD và BC 

Do đó BHCD là hình bình hành \(\Rightarrow BH//CD,CH//BD\)

Mặt khác vì ta có H là trực tâm của tam giác ABC nên \(BH\perp AC,CH\perp AB\)

Suy ra \(BD\perp AB,CD\perp AC\Rightarrow\Delta ABD,\Delta ACD\)là tam giác vuông 

b/Xét \(\Delta ABD,\Delta ACD:\widehat{ABD}=\widehat{ACD}=90^0\);I là trung điểm của cạnh huyền chung AD

Suy ra \(IA=IB=IC=ID\)

Bài 2a/Vì AD=CD(gt) nên D nằm trên trung trực của đoạn AC suy ra \(\widehat{DAC}=\widehat{ECA}=90^0-60^0=30^0\)

Suy ra \(\widehat{BAD}=90^0+\widehat{DAC}=120^0\)

b/Trước hết ta thấy ABCD đã là hình thang,nên ta đi chứng minh \(\widehat{BCD}=\widehat{ABC}=60^0\)

Ta có \(\widehat{BCD}=\widehat{DCA}+\widehat{ACB}=\widehat{DAC}+30^0=30^0+30^0=60^0\)

Vậy ABCD là hình thang cân

c/Ta có \(\Delta BCE:AE=BE,\widehat{ABE}=60^0\Rightarrow AE=BE=AB\)

\(\widehat{ADE}=\frac{1}{2}.\widehat{ADC}=60^0;\widehat{BAD}=120^0=\widehat{BED}\)

Suy ra ABED là hình bình hành 

Mà ta còn có AB=EB 

Vậy ABED là hình thoi

a: Xét ΔABH vuông tại H và ΔACH vuông tại H có

AB=AC

AH chung

=>ΔAHB=ΔAHC

b: ΔABC cân tại A

mà AH là đường cao

nên AH là trung trực của BC

c: Xét tứ giác ABIC có

H là trung điểm chung của AI và BC

AI vuông góc bC

=>ABIC là hình thoi

=>IC//AB và IC=AB

=>CA=CI

=>góc CAH=góc CIH

Tốt v a=))

a: Xét ΔABC có

H là trung điểm của AB

I là trung điểm của AC

Do đó: HI là đường trung bình của ΔABC

Suy ra: HI//BC

hay BHIC là hình thang

a:

Sửa đề: MBKC

Xét ΔBDC có BM/BD=BN/BC

nên MN//CD

Xét tứ giác MBKC có

N là trung điểm chung của MK và BC

=>MBKC là hình bình hành

b: Xét tứ giác AMNH có MN//AH

nên AMNH là hình thang

Xét ΔDBC có DM/DB=DH/DC=1/2

nên MH//BC 

=>MH/BC=DM/DB=1/2

=>MH=1/2BC

ΔABC vuông tại A có AN là trung tuyến

nên AN=1/2BC

=>AN=MH

=>AMNH là hình thang cân

c: MN=1/2DC

DH=1/2DC

=>MN=DH

mà MN//DH

nên MNHD là hình bình hành