Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông ABC, ta có:

Suy ra: BC = 35 (cm)

Vì AD là đường phân giác của (BAC) nên:

 (t/chất đường phân giác)

Suy ra: 

Hay 

Suy ra: 

Vậy DC = BC – BD = 35 – 15 = 20cm

Trong ΔABC ta có: DE // AB

Suy ra:  (Hệ quả định lí Ta-lét)

Suy ra: 

a: BC=35(cm)

Xét ΔABC có AD là đường phân giác

nên BD/AB=CD/AC

hay BD/21=CD/28

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\dfrac{BD}{21}=\dfrac{CD}{28}=\dfrac{BD+CD}{21+28}=\dfrac{35}{49}=\dfrac{5}{7}\)

Do đó: BD=15(cm); CD=20(cm)

Xét ΔABC có ED//AB

nên ED/AB=CD/CB

=>ED/21=20/35=4/7

=>ED=12(cm)

a) Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác ABC vuông tại A ta được:

\(AB^2+AC^2=BC^2\)

\(\Rightarrow BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=10\left(cm\right)\)

Xét tam giác ABC có BD là đường phân giác trong của tam giác ABC (gt)

\(\Rightarrow\frac{AD}{DC}=\frac{AB}{BC}\)( tc)

\(\Rightarrow\frac{AD}{DC}=\frac{3}{5}\)

\(\Rightarrow\frac{AD}{3}=\frac{DC}{5}=\frac{AD+DC}{3+5}=\frac{AC}{8}=\frac{8}{8}=1\)( tc của dãy tỉ số bằng nhau )

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}AD=3\left(cm\right)\\DC=5\left(cm\right)\end{cases}}\)

b) Xét tứ giác BMDN có \(\hept{\begin{cases}MD//BN\left(MD//BC,N\in BC\right)\\ND//MB\left(ND//AB,M\in AB\right)\end{cases}}\)\(\Rightarrow BMND\)là hình bình hành ( dhnb) (3) 

Xét tam giác ABC có: \(MD//BC\left(gt\right)\)

\(\Rightarrow\frac{AD}{AC}=\frac{MD}{BC}\)( hệ quả của định lý Ta-let) 

\(\Rightarrow\frac{3}{8}=\frac{MD}{10}\)

\(\Rightarrow MD=3,75\left(cm\right)\left(1\right)\)

Xét tam giác ABC có \(ND//AB\left(gt\right)\) 

\(\Rightarrow\frac{DC}{AC}=\frac{ND}{AB}\)( hệ quả của định lý ta-let) 

\(\Rightarrow\frac{5}{8}=\frac{ND}{6}\)

\(\Rightarrow ND=3,75\left(cm\right)\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow ND=MD\) (4)

Từ (3) và (4) \(\Rightarrow BMDN\)là hình thoi (dhnb)

c) \(S_{BMDN}=4.3,75=15\left(cm\right)\)

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông ABC, ta có:

B C 2 = A B 2 + A C 2 = 21 2 + 28 2 = 1225  

Suy ra: BC = 35 (cm)

Vì AD là đường phân giác của ∠ (BAC) nên:

 (t/chất đường phân giác)

Suy ra: 

Hay 

Suy ra: 

Vậy DC = BC – BD = 35 – 15 = 20cm

Trong ΔABC ta có: DE // AB

Suy ra:  (Hệ quả định lí Ta-lét)

Suy ra: 

a) Xét \(\Delta ABC\) vuông tại A:

\(BC^2=AB^2+AC^2\) (Pytago).

Thay: \(BC^2=3^2+4^2.\)

\(\Rightarrow BC=5\left(cm\right).\)

Xét \(\Delta ABC:\)

BD là đường phân giác (gt).

\(\Rightarrow\dfrac{AD}{CD}=\dfrac{AB}{BC}\) (Tính chất đường phân giác).

\(\Rightarrow\dfrac{AD}{CD+AD}=\dfrac{AB}{BC+AB}.\)

\(\Rightarrow\dfrac{AD}{AC}=\dfrac{AB}{BC+AB}.\)

Thay: \(\dfrac{AD}{4}=\dfrac{3}{5+3}.\)

\(\Rightarrow AD=1,5\left(cm\right).\)

\(\Rightarrow CD=BC-AD=5-1,5=3,5\left(cm\right).\)

b) Xét \(\Delta ABC:\)

DK // AB (gt).

\(\Rightarrow\dfrac{BK}{CK}=\dfrac{AD}{CD}\left(Talet\right).\)

Mà \(\dfrac{AD}{CD}=\dfrac{AB}{BC}\left(cmt\right).\)

\(\Rightarrow\dfrac{BK}{CK}=\dfrac{AB}{BC}.\\ \Rightarrow BK.BC=AB.CK.\)