a, Xét △BAH vuông tại H và △CAH vuông tại H

Có: AH là cạnh chung

       AB = AC (gt)

=> △BAH = △CAH (ch-cgv)

=> BH = CH (2 cạnh tương ứng)

Mà H nằm giữa B, C

=> H là trung điểm BC

Ta có: BH + CH = BC => BH + BH = 12 => 2BH = 12 => BH = 6 (cm)

Xét △BAH vuông tại H có: AH² + BH² = AB² (định lý Pytago)

=> AH² = AB² - BH²  

=> AH² = 10² - 6² 

=> AH² = 64

=> AH = 8 (cm)

b, Ta có: MH = MB + BH và HN = HC + CN

Mà BH = HC (cmt) ; MB = CN (gt)

=> MH = HN

Xét △MHA vuông tại H và △NHA vuông tại H

Có: AH là cạnh chung

      MH = HN (cmt)

=> △MHA = △NHA (2cgv)

=> HMA = HNA (2 góc tương ứng)

Xét △AMN có: AMN = ANM (cmt) => △AMN cân tại A

c, Xét △MBE vuông tại E và △NCF vuông tại F

Có: EMB = FNC (cmt)

      MB = CN (gt)

=> △MBE = △NCF (ch-gn)

=> MBE = NCF (2 góc tương ứng)

d, Vì △MHA = △NHA (cmt) => MAH = NAH (2 góc tương ứng)

=> AH là phân giác của MAN

Ta có: AE + EM = AM và AF + FN = AN 

Mà EM = FN (△MBE = △NCF) ; AM = AN (△AMN cân tại A)

=> AE = AF

Xét △EAK vuông tại E và △FAK vuông tại F

Có: AK là cạnh chung

       AE = AF (cmt)

=> △EAK = △FAK (ch-cgv)

=> EAK = FAK (2 góc tương ứng)

=> AK là phân giác EAF => AK là phân giác MAN

Mà AH là phân giác của MAN

=> AK ≡ AH 

=> 3 điểm A, H, K thẳng hàng

a) xét \(\Delta MBE\)vuông tại E và \(\Delta HBE\)

có \(EM=EH\left(gt\right)\)

BE là cạnh chung

\(\Rightarrow\Delta MBE=\Delta HBE\left(ch-cgv\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{MBE}=\widehat{HBE}\)( 2 góc tương ứng)

xét \(\Delta MAE\)VUÔNG TẠI E và \(\Delta HAE\)VUÔNG TẠI E

CÓ EM=EH (gt)

AE LÀ CẠNH CHUNG

\(\Rightarrow\Delta MAE=\Delta HAE\left(ch-cgv\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{MAE}=\widehat{HAE}\)(2 GÓC TƯƠNG ỨNG)

XÉT \(\Delta ABM\)VÀ \(\Delta ABH\)

CÓ \(\widehat{MBE}=\widehat{HBE}\left(cmt\right)\)

AB LÀ CẠNH CHUNG

\(\widehat{MAE}=\widehat{HAE}\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow\Delta ABM=\Delta ABH\left(g-c-g\right)\)

MÀ TAM GIÁC ABH VUÔNG TẠI H

=> TAM GIÁC ABM VUÔNG TẠI M

=> \(AM\perp BM\)( ĐỊNH LÍ)

B) TA CÓ \(AC\perp AB\)

             \(HE\perp AB\)

\(\Rightarrow AC//HE\)(ĐỊNH LÍ)

\(\Rightarrow\widehat{EHA}=\widehat{HAF}\left(SLT\right)\)

XÉT \(\Delta EHA\)VUÔNG TẠI E VÀ \(\Delta FAH\)VUÔNG TẠI F

CÓ \(\widehat{EHA}=\widehat{HAF}\left(cmt\right)\)

HA LÀ CẠNH CHUNG

\(\Rightarrow\Delta EHA=\Delta FAH\left(ch-gn\right)\)

=> EA = FH (2 CẠNH TƯƠNG ỨNG)

XÉT \(\Delta EAH\)VUÔNG TẠI E VÀ \(\Delta HFE\)VUÔNG TẠI H

CÓ EA= FH (cmt)

EH LÀ CẠNH CHUNG

\(\Rightarrow\Delta EAH=\Delta HFE\left(cgv-cgv\right)\)

=> AH = EF (2 CẠNH TƯƠNG ỨNG)

CHÚC BN HỌC TỐT!!!!!!!!!!

a: Ta có: ΔABC cân tại A

mà AH là đường cao

nên H là trung điểm của BC

b: Xét ΔABM và ΔACN có 

AB=AC
\(\widehat{ABM}=\widehat{ACN}\)

BM=CN

Do đó;ΔABM=ΔACN

Suy ra: \(\widehat{M}=\widehat{N}\)

Xét ΔEBM vuông tại E và ΔFCN vuông tại F có

BM=CN

\(\widehat{M}=\widehat{N}\)

Do đó: ΔEBM=ΔFCN

Suy ra: \(\widehat{EBM}=\widehat{FCN}\)

=>\(\widehat{IBC}=\widehat{ICB}\)

=>ΔIBC cân tại I

=>IB=IC

mà AB=AC

và HB=HC

nên A,H,I thẳng hàng