Lời giải:
Ta có:
\(\left\{\begin{matrix} \frac{x_A+x_B+x_C}{3}=x_G\\ \frac{y_A+y_B+y_C}{3}=y_G\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x_C=3x_G-x_A-x_B\\ y_C=3y_G-y_A-y_B\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x_C=3.2-(-2)-0=8\\ y_C=3.3-0-4=5\end{matrix}\right.\)

Vậy tọa độ điểm $C$ là $(8,5)$

\(\left|y_G\right|=\frac{1}{3}\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}y_G=\frac{1}{3}\\y_G=-\frac{1}{3}\end{matrix}\right.\)

TH1: \(y_G=\frac{1}{3}\Rightarrow y_C=3y_G-\left(y_A+y_B\right)=1\)

Gọi \(C\left(x;1\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AC}=\left(x+2;1\right)\\\overrightarrow{BC}=\left(x-2;1\right)\end{matrix}\right.\)

\(AC\perp BC\Rightarrow\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BC}=0\Rightarrow\left(x-2\right)\left(x+2\right)+1=0\Rightarrow x=\pm\sqrt{3}\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}C\left(\sqrt{3};1\right)\\C\left(-\sqrt{3};1\right)\end{matrix}\right.\)

TH2: \(y_G=-\frac{1}{3}\Rightarrow y_C=-1\)

\(C\left(x;-1\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AC}=\left(x+2;-1\right)\\\overrightarrow{BC}=\left(x-2;-1\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left(x-2\right)\left(x+2\right)+1=0\Rightarrow x=\pm\sqrt{3}\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}C\left(\sqrt{3};-1\right)\\C\left(-\sqrt{3};-1\right)\end{matrix}\right.\)

Gọi M là trung điểm của BC, vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên \(\overrightarrow{AM}=\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AG}\)

Có \(\overrightarrow{AG}=\left(0;-3\right);\overrightarrow{AM}=\left(x_M-2;y_M-3\right)\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_M-2=0\\y_M-3=-3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_M=2\\y_M=0\end{matrix}\right.\Rightarrow M\left(2;0\right)\)

\(\overrightarrow{AH}=\left(-1;-2\right)\Rightarrow u_{BC}=\left(1;2\right)\\ BC:1.\left(x-2\right)+2.\left(y-0\right)\\ BC:x+2y-2=0\)

Gọi điểm B có tọa độ theo tham số t, tìm điểm C theo tham số t thông qua điểm M. 

Có: \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CH}=0\)

Giải phương trình tìm ra t.

Từ đó suy ra tọa độ điểm B và C

Do G thuộc d nên G(t,1-2t)

tìm A thông wa ẩn của G

S_ABC=\(\frac{1}{2}\cdot d_{\left(A,BC\right)}\cdot BC\) 

Suy ra ẩn t =>A(...)

gọi G(g;1-2g)

ta có Sabc=5/2 => Sgbc=5/6(vì g là trọng tâm nên Sgbc=1/3Sabc)

<=> 1/2.d(G;bc).BC=5?6 => G(?;?)

gọi M là trung điểm BC. => M(?;?) ta lại có vtAG=2/3vtAM => A(?;?)

CHÚC BẠN HỌC TỐT :)

Từ giả thiết suy ra \(\overrightarrow{AB}=\left(-2;2\right);\overrightarrow{BC}=\left(4;-3\right)\)

Gọi H(x;y) là trực tâm của tam giác ABC thế thì \(\overrightarrow{CH}=\left(x-2;y\right),\overrightarrow{AH}=\left(x;y-1\right)\)

Ta có H là trực tâm của tam giac ABC khi và chỉ khi

\(\begin{cases}\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BC}=0\\\overrightarrow{CH}.\overrightarrow{AB}=0\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\)    \(\begin{cases}4x-3\left(y-1\right)=0\\-2\left(x-2\right)+2y=0\end{cases}\)

                         \(\Leftrightarrow\begin{cases}x=-9\\y=-11\end{cases}\)

Vậy trực tâm của tam giác ABC là H(-9;-11)

Để tìm  tọa độ của tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ta có thể sử dụng công thức khoảng cách IA=IB=IC hoặc sử dụng đẳng thức Vecto \(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{IH}\)

Hoặc cũng có thể làm như sau :

Gọi M và N theo thứ tự là trung điểm của AB và BC. Khi đó M(-1;2) và \(N\left(0;\frac{3}{2}\right)\)

Gọi I(x;y) là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác. Khi đó :

\(\begin{cases}\overrightarrow{IM}.\overrightarrow{AB}=0\\\overrightarrow{IN}.\overrightarrow{BC}=0\end{cases}\)

\(\Leftrightarrow\begin{cases}-2\left(-1-x\right)+2\left(2-y\right)=0\\4\left(-x\right)-3\left(\frac{3}{2}-y\right)=0\end{cases}\)

\(\Leftrightarrow\begin{cases}x=\frac{9}{2}\\y=\frac{15}{2}\end{cases}\)

Vậy tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC là \(I\left(\frac{9}{2};\frac{15}{2}\right)\)