1.

trên tia đối tia CD lấy điểm H sao cho AC=CH.Nối BH

=>  TAM GIÁC ABC=HBC(c.g.c)

=>  AB=BH  =>  AB+BD=HB+BD

AC=CH  =>  AC+CD=HC+CD

Tam giác DBH có BD+BH>DH ( bất đẳng thức tam giác)

=> đpcm

2.

góc C = 80 độ

tam giác BMC cóCB=CM nên cân tại C

=>góc BMC=góc CBM=(180 -  80)/2=50

góc AMD=180 độ-góc MAD-góc MDA

\(=180^0-\dfrac{180^0-\widehat{BAD}}{2}-\dfrac{180^0-\widehat{ADC}}{2}\)

\(=180^0-\dfrac{1}{2}\widehat{ADC}-90^0+\dfrac{1}{2}\widehat{ADC}=90^0\)

Gọi giao của AM với DC là M'

Xét ΔDM'A có

DM là đường cao, là đường phân giác

nên ΔDM'A cân tại D

=>M là trung điểm của AM'

Gọi giao của BN với DC là N'

Ta có: \(\widehat{BNC}=180^0-\widehat{NBC}-\widehat{NCB}\)

\(=180^0-\dfrac{180^0-\widehat{ABC}}{2}-\dfrac{180^0-\widehat{BCD}}{2}\)

\(=180^0-90^0+\dfrac{1}{2}\widehat{ABC}-90^0+\dfrac{1}{2}\widehat{BCD}\)

=90 độ

Xét ΔCN'B có

CN vừa là đường cao, vừa là phân giác

nên ΔCN'B cân tại C

=>N là trug điểm của BN'

Xét hình thang ABN'M' có

M,N lần lượt là trung điểm của AM' và BN'

nen MN là đường trung bình

=>MN//CD

a: 

góc AMD=180 độ-góc MAD-góc MDA

\(=180^0-\dfrac{180^0-\widehat{BAD}}{2}-\dfrac{180^0-\widehat{ADC}}{2}\)

\(=180^0-\dfrac{1}{2}\widehat{ADC}-90^0+\dfrac{1}{2}\widehat{ADC}=90^0\)

Gọi giao của AM với DC là M'

Xét ΔDM'A có

DM là đường cao, là đường phân giác

nên ΔDM'A cân tại D

=>M là trung điểm của AM'

Gọi giao của BN với DC là N'

Ta có: \(\widehat{BNC}=180^0-\widehat{NBC}-\widehat{NCB}\)

\(=180^0-\dfrac{180^0-\widehat{ABC}}{2}-\dfrac{180^0-\widehat{BCD}}{2}\)

\(=180^0-90^0+\dfrac{1}{2}\widehat{ABC}-90^0+\dfrac{1}{2}\widehat{BCD}\)

=90 độ

Xét ΔCN'B có

CN vừa là đường cao, vừa là phân giác

nên ΔCN'B cân tại C

=>N là trug điểm của BN'

Xét hình thang ABN'M' có

M,N lần lượt là trung điểm của AM' và BN'

nen MN là đường trung bình

=>MN//CD//AB

b: MN=(AB+M'N')/2

=(AB+M'D+CD+CN')/2

mà M'D=AD và CN'=CB

nên MN=(AB+CD+AD+CB)/2