\(\left\{{}\begin{matrix}x+y=2\left(m-1\right)\left(1\right)\\2x-y=m+8\left(2\right)\end{matrix}\right.\) 

Cộng từng vế của (1) và (2) ta được: 

\(3x=3m+6=3\left(m+2\right)\) \(\Leftrightarrow x=m+2\) Thay vào (2) ta được:

\(\Rightarrow2\left(m+2\right)-y=m+8\) \(\Leftrightarrow y=2m+4-m-8=m-4\)

\(\Rightarrow x^2+y^2=\left(m+2\right)^2+\left(m-4\right)^2=m^2+4m+4+m^2-8m+16=2m^2-4m+20=2m^2-4m+2+18=2\left(m^2-2m+1\right)+18=2\left(m-1\right)^2+18\ge18\)

GTNN của \(x^2+y^2=18\Leftrightarrow m=1\)

\(\left[\left(a^2-2a\right).\left(b^2+6b\right)\right]+12\left(a^2-2a\right)+3\left(b^2+6b\right)+36\)(1)

Em đặt: \(A=a^2-2a\)và \(B=b^2+6b\)

(1) Trở thành:

\(AB+12A+3B+36=A\left(B+12\right)+3\left(B+12\right)=\left(A+3\right)\left(B+12\right)\)

\(=\left(a^2-2a+3\right)\left(b^2+6b+12\right)=\left[\left(a-1\right)^2+2\right]\left[\left(b+3\right)^2+3\right]>0\)

Xét \(a^4+b^4+c^4-2a^2b^2-2b^2c^2-2c^2a^2=\left(a^4-2a^2b^2+b^4\right)-2c^2\left(a^2-b^2\right)+c^4-4c^2b^2\)

=\(\left(a^2-b^2\right)^2-2\left(a^2-b^2\right)c^2+c^4-4c^2b^2=\left(a^2-b^2-c^2\right)^2-4c^2b^2\)

=\(\left(a^2-b^2-c^2-2bc\right)\left(a^2-b^2-c^2+2bc\right)=\left[a^2-\left(b+c\right)^2\right]\left[a^2-\left(b-c\right)^2\right]\)

=\(\left(a-b-c\right)\left(a+b+c\right)\left(a-b+c\right)\left(a+b-c\right)\)

Mà a,b,c là 3 cạnh tam giác => a-b-c<0 ;a+b+c>0;a-b+c>0;a+b-c>0 

=>\(...< 0\Rightarrow a^4+b^4+c^4< 2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2\left(ĐPCM\right)\)

ta có\(a^4+b^4+c^4< 2a^2b^2+2c^2a^2+2b^2c^2\)

<=> \(-a^4-b^4-c^4+2a^2b^2+2a^2c^2+2b^2c^2>0\)

<=>\(4a^2c^2-\left(a^4+b^4+c^4-2a^2b^2+2a^2c^2-2b^2c^2\right)>0\)

<=> \(4a^2c^2-\left(a^2-b^2+c^2\right)^2>0\)

<=>.......

<=>(a+b+c)(a+c-b)(a+b-c)(b-a+c)>0

luôn đúng vì a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác 

vậy bđt trên dc cm dễ dàng

BĐT cần chứng minh tương đương \(a^4+b^4+c^4\ge2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)-abc\left(a+b+c\right)\)

mà \(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\ge abc\left(a+b+c\right)\)(BĐT cauchy)

\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4\ge a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\)(cần chứng minh)

ÁP dụng bất đẳng thức bunyakovsky:

\(3\left(a^4+b^4+c^4\right)\ge\left(a^2+b^2+c^2\right)^2\)

mà \(\left(a^2+b^2+c^2\right)^2\ge3\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\)(hệ quả BĐT cauchy)

\(\Rightarrow3\left(a^4+b^4+c^4\right)\ge3\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\)

\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4\ge a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\)(đpcm)

dấu = xảy ra khi a=b=c

Trái dấu bất đẳng thức rồi kìa

\(\dfrac{a^2b^2}{2a^2+b^2+3a^2b^2}=\dfrac{a^2b^2}{\left(a^2+b^2\right)+\left(a^2+a^2b^2\right)+2a^2b^2}\le\dfrac{a^2b^2}{2ab+2a^2b+2a^2b^2}=\dfrac{ab}{2\left(1+a+ab\right)}\)

Tương tự và cộng lại;

\(P\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{ab}{1+a+ab}+\dfrac{bc}{1+b+bc}+\dfrac{ca}{1+c+ca}\right)\)

\(P\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{ab}{1+a+ab}+\dfrac{abc}{a+ab+abc}+\dfrac{ab.ca}{ab+abc+ab.ca}\right)\)

\(P\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{ab}{1+a+ab}+\dfrac{1}{a+ab+1}+\dfrac{a}{ab+1+a}\right)=\dfrac{1}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)

Dễ lắm tự làm đi cu

bai nay de thoi ban

giúp mình với