Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM:

\(x^2+xy+y^2=(x+y)^2-xy\geq (x+y)^2-\frac{(x+y)^2}{4}=\frac{3(x+y)^2}{4}\)

\(\Rightarrow \sqrt{x^2+xy+y^2}\geq \frac{\sqrt{3}}{2}(x+y)\)

Tương tự với các phân thức còn lại và cộng theo vế:

\(\Rightarrow A\geq \sqrt{3}(x+y+z)=3\sqrt{3}\) (đpcm)

Dấu $=$ xảy ra khi $x=y=z=1$

ÁP dụng AM-GM:

\(\sum\dfrac{a^2}{\sqrt{1-a^2}}=\sum\dfrac{a^3}{\sqrt{\left(1-a^2\right).a^2}}\ge\sum\dfrac{a^3}{\dfrac{1}{2}\left(1-a^2+a^2\right)}=2\sum a^3=2\left(đpcm\right)\)

Dấu = không xảy ra

 

1) ( x, y, z chứng minh rằng : a) x
+ y
+ z

xy+ yz + zx b) x
+ y
+ z

2xy – 2xz + 2yz c) x
+ y
+ z
+3
2 (x + y + z) Giải: a) Ta xét hiệu x
+ y
+ z
- xy – yz - zx =
.2 .( x
+ y
+ z
- xy – yz – zx) =

đúng với mọi x;y;z
Vì (x-y)2
0 với(x ; y Dấu bằng xảy ra khi x=y (x-z)2
0 với(x ; z Dấu bằng xảy ra khi x=z (y-z)2
0 với( z; y Dấu bằng xảy ra khi z=y Vậy x
+ y
+ z

xy+ yz + zx Dấu bằng xảy ra khi x = y =z b)Ta xét hiệu x
+ y
+ z
- ( 2xy – 2xz +2yz ) = x
+ y
+ z
- 2xy +2xz –2yz =( x – y + z)

đúng với mọi x;y;z
Vậy x
+ y
+ z

2xy – 2xz + 2yz đúng với mọi x;y;z
Dấu bằng xảy ra khi x+y=z c) Ta xét hiệu x
+ y
+ z
+3 – 2( x+ y +z ) = x
- 2x + 1 + y
-2y +1 + z
-2z +1 = (x-1)
+ (y-1)
+(z-1)

0 Dấu(=)xảy ra khi x=y=z=1 2) chứng minh rằng :a)
;b)

c) Hãy tổng quát bài toángiảia) Ta xét hiệu
=
=
=
Vậy
Dấu bằng xảy ra khi a=bb)Ta xét hiệu
=
Vậy
Dấu bằng xảy ra khi a = b =cc)Tổng quát
3) Chứng minh (m,n,p,q ta đều có m
+ n
+ p
+ q
+1( m(n+p+q+1) Giải:

(luôn đúng)Dấu bằng xảy ra khi




4) Cho a, b, c, d,e là các số thực chứng minh rằng a)

b)
c)
Giải: a)



(bất đẳng thức này luôn đúng) Vậy
(dấu bằng xảy ra khi 2a=b) b)



Bất đẳng thức cuối đúng. Vậy
Dấu bằng xảy ra khi a=b=1 c)






Bất đẳng thức đúng vậy ta có điều phải chứng minh5) Chứng minh rằng:
Giải:





a2b2(a2-b2)(a6-b6)
0
a2b2(a2-b2)2(a4+ a2b2+b4)
0Bất đẳng thứccuối đúng vậy ta có điều phải chứng minh 6) cho x.y =1 và x>y Chứng minh


Giải:


vì :x
y nên x- y
0
x2+y2

( x-y)
x2+y2-
x+
y
0
x2+y2+2-
x+
y -2
0
x2+y2+(
)2-
x+
y -2xy
0 vì x.y=1 nên 2.x.y=2
(x-y-
)2
0 Điều này luôn luôn đúng . Vậy ta có điều phải chứng minh7) 1)CM: P(x,y)=

2)CM:
(Text

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(\dfrac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}=\dfrac{x^3}{x\sqrt{1-x^2}}\ge\dfrac{x^3}{\dfrac{x^2+1-x^2}{2}}=2x^3\)

Tương tự cho 2 BĐT còn lại ta cũng có:

\(\dfrac{y^2}{\sqrt{1-y^2}}\ge2y^3;\dfrac{z^2}{\sqrt{1-z^2}}\ge2z^3\)

Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:

\(P\ge2x^3+2y^3+2z^3=2\left(x^3+y^3+z^3\right)=2\)

c/m 2 vế = nhau đó

1.

\(6=\frac{\sqrt{2}^2}{x}+\frac{\sqrt{3}^2}{y}\ge\frac{\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)^2}{x+y}=\frac{5+2\sqrt{6}}{x+y}\)

\(\Rightarrow x+y\ge\frac{5+2\sqrt{6}}{6}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}\frac{x}{\sqrt{2}}=\frac{y}{\sqrt{3}}\\x+y=\frac{5+2\sqrt{6}}{6}\end{matrix}\right.\)

Bạn tự giải hệ tìm điểm rơi nếu thích, số xấu quá

2.

\(VT\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2}\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+\frac{81}{\left(x+y+z\right)^2}}\)

Đặt \(x+y+z=t\Rightarrow0< t\le1\)

\(VT\ge\sqrt{t^2+\frac{81}{t^2}}=\sqrt{t^2+\frac{1}{t^2}+\frac{80}{t^2}}\ge\sqrt{2\sqrt{\frac{t^2}{t^2}}+\frac{80}{1^2}}=\sqrt{82}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)

3.

\(\frac{a^2}{b^5}+\frac{a^2}{b^5}+\frac{a^2}{b^5}+\frac{1}{a^3}+\frac{1}{a^3}\ge5\sqrt[5]{\frac{a^6}{b^{15}.a^6}}=\frac{5}{b^3}\)

Tương tự: \(\frac{3b^2}{c^5}+\frac{2}{b^3}\ge\frac{5}{a^3}\) ; \(\frac{3c^2}{d^5}+\frac{2}{c^3}\ge\frac{5}{d^3}\) ; \(\frac{3d^2}{a^5}+\frac{2}{d^2}\ge\frac{5}{a^3}\)

Cộng vế với vế và rút gọn ta được: \(3VT\ge3VP\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=d=1\)

4.

ĐKXĐ: \(-2\le x\le2\)

\(y^2=\left(x+\sqrt{4-x^2}\right)^2\le2\left(x^2+4-x^2\right)=8\)

\(\Rightarrow y\le2\sqrt{2}\Rightarrow y_{max}=2\sqrt{2}\) khi \(x=\sqrt{2}\)

Mặt khác do \(\left\{{}\begin{matrix}x\ge-2\\\sqrt{4-x^2}\ge0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x+\sqrt{4-x^2}\ge-2\)

\(y_{min}=-2\) khi \(x=-2\)

a) Ta có: \({\Delta _1}:3\sqrt 2 x + \sqrt 2 y - \sqrt 3  = 0 \Leftrightarrow \sqrt 2 \left( {3\sqrt 2 x + \sqrt 2 y - \sqrt 3 } \right) = 0 \Leftrightarrow 6x + 2y - \sqrt 6  = 0\)

Do đó hai đường thẳng trùng nhau.

b) Ta có: \(\frac{1}{{\sqrt 3 }} = \frac{{ - \sqrt 3 }}{{ - 3}} \ne \frac{2}{2}\), do đó hai đường thẳng song song với nhau.

c) Ta có: \(\frac{1}{3} \ne \frac{{ - 2}}{1}\), do đó hai đường thẳng cắt nhau. 

1) \(\sqrt[]{3x+7}-5< 0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt[]{3x+7}< 5\)

\(\Leftrightarrow3x+7\ge0\cap3x+7< 25\)

\(\Leftrightarrow x\ge-\dfrac{7}{3}\cap x< 6\)

\(\Leftrightarrow-\dfrac{7}{3}\le x< 6\)