Gọi d là ƯCLN(n + 1; n + 2)

⇒ n + 2 ⋮ d

⇒ n + 1 ⋮ d

⇒ [(n + 2) - (n + 1)] ⋮ d

⇒ (n + 2 - n - 1) ⋮ d

⇒ 1 ⋮ d

⇒ d = 1

Vậy phân số đã cho là phân số tối giản với mọi n ∈ ℕ

Gọi d là ƯCLN (21n+4;14n+3)

\(\Rightarrow21n+4⋮d\Rightarrow2\left(21n+4\right)⋮d\Rightarrow42n+8⋮d\)

\(\Rightarrow14n+3⋮d\Rightarrow3\left(14n+3\right)⋮d\Rightarrow42n+9⋮d\)

\(\Leftrightarrow\left(42n+9\right)-\left(42n+8\right)=1⋮d\Rightarrow d=1\)

\(\RightarrowƯCLN\left(21n+4;14n+3\right)=1\)

\(\Rightarrow\frac{21n+4}{14n+3}\)tối giản

Vậy: Với mọi số tự nhiên n thì \(\frac{21n+4}{14n+3}\) tối giản

Vì n và n+1 là 2 số liên tiếp 

=>n và n+1 là 2 số nguyên tố cùng nhau

=>ƯCLN(n,n+1)=1

=>n/n+1 là phân số tối giản

Gọi d = ƯCLN(n;n+1) \(\Rightarrow\hept{\begin{cases}n⋮d\\n+1⋮d\end{cases}}\Rightarrow n+1-n⋮d\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d=\pm1\)
Vậy \(\frac{n}{n+1}\)là phân số tối giản \(\forall n\in N\)

Đặt \(d=\left(2n+3,3n+5\right)\).

Ta có: \(\hept{\begin{cases}2n+3⋮d\\3n+5⋮d\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}3\left(2n+3\right)⋮d\\2\left(3n+5\right)⋮d\end{cases}}\Rightarrow2\left(3n+5\right)-3\left(2n+3\right)=1⋮d\).

Suy ra \(d=1\). Ta có đpcm.

gọi ƯCLN(n,n+1)=d 

=> \(n⋮d\) và \(n+1⋮d\) 

=> \(\left[\left(n+1\right)-n\right]⋮d\)  

=> \(1⋮d\)  

=> \(d\in\left\{1;\left(-1\right)\right\}\) 

Vì các phân số tối giản có ƯCLN của tử và mẫu là 1 và -1 

=>\(\frac{n}{n+1}\) là phân số tối giản ( điều phải chứng minh)

ps tối giẩn thì tử và mẫu là 2 số nguyên tố cùng nhau mà n và n+1 liên tiếp nên là 2 ssos nguyên tố cùng nhau vậy  n/ n+1 tối giản

A = \(\dfrac{2n^2+n+1}{n}\) ( n #0)

Gọi ước chung của ớn nhất của 2n² + n + 1 và n là d

Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}2n^2+n+1⋮d\\n⋮d\end{matrix}\right.\)  ⇒  1 ⋮ d ⇒ d = 1

Vậy ước chung lớn nhất của 2n² + n + 1 và n là 1 

hay phân số \(\dfrac{2n^2+n+1}{n}\) là phân số tối giản ( đpcm)

Giả sử : \(2n+3⋮d\)

               \(n+2⋮d\)

\(\Rightarrow\left(2n+3\right)-\left(n+2\right)⋮d\)

\(\Leftrightarrow\left(2n+3\right)-2\left(n+2\right)⋮d\)

\(\Rightarrow-1⋮d\)

\(\Rightarrow d\inƯ\left(-1\right)=\left\{1;-1\right\}\)

\(\Rightarrow\frac{2n+3}{n+2}\) là phân số tối giản

Cho d là ước chung lớn nhất của 2n+ 3 và n + 2 

=> ( 2n+3 ) - 2( n + 2 ) chia hết cho d

      -1 chia hết cho d

Vậy 2n+3 / n + n tối giản .