a) Ta có: \(\overline{abcabc}=100000a+10000b+1000c+100a+10b+c\) \(=100100a+10010b+1001c\) \(=1001\left(100a+10b+c\right)=7\cdot11\cdot13\left(100a+10b+c\right)⋮7,11,13\)

b) Ta có: \(\overline{ab}-\overline{ba}=10a+b-10b-a=9a-9b\) \(=9\left(a-b\right)⋮9\)

c) Ta có: \(\overline{abc}-\overline{cba}=100a+10b+c-100c-10b-a=99a-99c=99\left(a-c\right)⋮99\)

7)a) abcabc : abc = 1001 
abcabc = 1001 x abc . Mà 1001 chia hết cho 7; 11; 13 nên 1001 x abc chia hết cho 7; 11; 13 . Vậy abcabc chia hết cho 7; 11; 13 ( đpcm)
b .Vì abc = 2 . deg nên  abcdeg : deg = 2001
abcdeg = 2001 x deg. Do 2001 chia hết cho 23 và 29 nên 2001 x deg chia hết cho 23 và 29 . Vậy abcdeg chia hết cho 23 và 29 ( đpcm)
 

Ta có : 

abcabc = 1000abc + abc 

= 1001 . abc 

= 7 . 11 . 13 . abc chia hết cho 7 ; 11 ; 13

a, ab - ba chia hết cho 9

Ta có :

ab - ba = ( a . 10 + b ) - ( b . 10 + a )

           = a ( 10 - 1 ) - b ( 10 - 1 )

           = a . 9 - b - 9

           = ( a - b ) . 9

=> ab - ba chia hết cho 9

b, abcabc chia hết cho 7 ;11 ; 13

Ta có :

abcabc = abc  . 1001

= abc . 11. 13. 7

=> .... 

A ) Ta có : ab - ba = 10a + b - 10b - a =9a - 9b = 9 ( a - b )

Vì 9 chia hết cho 9 => 9 ( a - b ) chia hết cho 9

Vậy ab - ba chia hết cho 9

B ) Ta có :

abcabc = 1001abc = 7 . 13 . 11 . abc

Vì 7 . 13 . 11 chia hết cho 7 , 13 , 11

=> 7 . 13 . 11 . abc chia hết cho 7 , 13 , 11

Vậy abcabc chia hết cho 7 , 13 , 11

a) Theo bài ra ta có:
abcabc = 1000abc + abc
             = ( 1000 +1)abc
             =1001abc.
Vì : 1001 chia hết cho 11 => abcabc chia hết cho 11.
       1001 chia hết cho 7 => abcabc chia hết cho 7.
       1001 chia hết cho 13 => abcabc chia hết cho 13.
=> Điều phải chứng minh.
b) Ta có:
ab+ba= 10a+b+10b+a=11a+11b=11(a+b) chia hết cho 11.
=> Đpcm.
c)Giả sử 9a+7b chia hết cho 11,ta có:
9(2a+4b)-2(9a+7b)= 18a+36b-(18a+14b)=18a+36b-18a-14b=36b-14b=(36-14)b=22b
Vì 22 chia hết cho 11 => 22b chia hết cho 11.
Mà 9a+7b chia hết cho 11 => 2(9a+7b) chia hết cho 11.
=> 9(2a+4b) chia hết cho 11.
Vì UWCLN(9;11)=1 => 2a+4b chia hết cho 11.
=> Đpcm.
k tớ nha <3

Ta có : 

abcabc = 1000abc + abc 

= 1001 . abc 

= 7 . 11 . 13 . abc chia hết cho 7 ; 11 ; 13

a, Ta có : \(\overline{aaa}=a.111=a.3.37\Rightarrow\overline{aaa}⋮37\)

b,Vì : \(\overline{aaaaaa}=a.111111=a.15873.7\Rightarrow\overline{aaaaaa}⋮7\)

c,Vì : \(\overline{abcabc}=\overline{abc}.1001\Rightarrow\overline{abcabc}⋮1001\)

d, Ta có : \(\overline{ab}+\overline{ba}=10a+b+10b+a\)

\(=10a+a+10b+b=11a+11b\)

\(=11\left(a+b\right)⋮11\) ( Vì : \(a+b\in N\) )

Vậy \(\overline{ab}+\overline{ba}⋮11\)

e, \(\overline{ab}-\overline{ba}=\left(10a+b\right)-\left(10b+a\right)\)

\(=\left(10-1\right)a-\left(10-1\right)b\)

\(=9a-9b=9\left(a-b\right)\)

Vì : \(a\ge b\Rightarrow a-b\in N\Rightarrow9\left(a-b\right)⋮9\)

Vậy : \(\overline{ab}-\overline{ba}⋮9\)

f, \(\overline{abc}-\overline{cba}=\left(a.100+b10+c\right)-\left(100c+10b+a\right)\)

\(=\left(100a+10a+10c+c\right)-\left(100c+10c+10a+a\right)\)

\(=\left(110a+11c\right)-\left(110c+11a\right)⋮11\)

Vì : \(a\ge c\Rightarrow\overline{abc}-\overline{cba}⋮11\)

Vậy : \(\overline{abc}-\overline{cba}⋮11\)

a) \(\overline{aaa}=a.111⋮37\)

\(\Rightarrow\overline{aaa}⋮37\left(đpcm\right)\)

b) \(\overline{aaaaaa}=a.111111⋮7\) ( vì \(111111⋮7\) )

\(\Rightarrow\overline{aaaaaa}⋮7\left(đpcm\right)\)

c) \(\overline{abcabc}=\overline{abc}.1001⋮1001\)

\(\Rightarrow\overline{abcabc}⋮1001\left(đpcm\right)\)

d) \(\overline{ab}+\overline{ba}=10a+b+10b+a=11a+11b=11\left(a+b\right)⋮11\)

\(\Rightarrow\overline{ab}+\overline{ba}⋮11\left(đpcm\right)\)

e) \(\overline{ab}-\overline{ba}=10a+b-\left(10b+a\right)=9a-9b=9\left(a-b\right)⋮9\)

\(\Rightarrow\overline{ab}-\overline{ba}⋮9\left(đpcm\right)\)

f) \(\overline{abc}-\overline{cba}=100a+10b+c-100c-10b-a=99a-99c=11\left(9a-9b\right)⋮11\)

\(\Rightarrow\overline{abc}-\overline{cba}⋮11\left(đpcm\right)\)

a)

abcabc=abc.1001

Mà 1001 chia hết cho cả 7 ;11và 13

=>abc.1001 chia hết cho 7;11;13

Hay abcabc chia hết cho 7;11;13

Vậy............................

b)

abcdeg=abc.1000+deg                                                                                     (1)

Thay abc=2.deg vào (1) ta có  :

deg.2.1000+deg

=deg.2001

Mà 2001 cùng chia hết ch0 23 và 29

=>deg.2001 chia hết cho cả 23 và 29

Hay abcdeg chia hết cho 23 và 29

Vậy ......................................

Chứng minh abcabc ÷ abc =1001
ta có abcabc / abc 
=( 100000a + 10000b + 1000c +100a +10b +c )/(100a +10b +c)
=(100100a+10010b+1001c)/(100a +10b +c)
= 1001(100a +10b +c)/(100a+10b+c)
=1001
vậy đẳng thức đã đc c/m

Học Tốt ^-^

ta có abcabc / abc 
=( 100000a + 10000b + 1000c +100a +10b +c )/(100a +10b +c)
=(100100a+10010b+1001c)/(100a +10b +c)
= 1001(100a +10b +c)/(100a+10b+c)
=1001

abc = 11 . ( a + b + c )

a . 100 + b . 10 + c = 11 . a + 11 . b + 11 . c

a . 89 = b + 10 . c

a chỉ có thể bằng 1 vì nếu a = 2 thì a . 89 = 198 . Mà b + 10 . c lớn nhất là 98 

b + 10 . c = 89 

=> b = 9 vì 10 . c có tận cùng là 0 

c = ( 89 - 9 ) : 10 = 8 

Vậy nếu abc = 11 . ( a + b + c ) thì a = 1 ; b = 9 ; c = 8

b ) ab + ba = 10a + b + 10b + a = 11a + 11b = 11( a + b )

=> ab + ba chia hết cho 11

A ) abc = 11 . ( a + b + c )

 a x 100 +  b x 10 + c x 1 = 11 . a + 11.b + 11.c

                            a x 99  = 1.b + b.10

\(\Rightarrow a=1;b=9;c=8\)

B ) ab + ba 

= a x 10 + b x 1 + b x 10 + a x 1

= a x ( 10 + 1 ) + b x ( 1 + 10 )

= a x 11 + b x 11

= ( a + b ) x 11

Vì số nào nhân với 11 thì cũng đều chia hết cho 11 nên ( ab + ba ) \(⋮11\) 

1/ Từ ab+2cd => abcd = 100ab + cd = 200cd +cd

hay abcd = 201cd mà 201 chia hết cho 67

Vậy abcd chia hết cho 67 (đpcm)

2/

a) Ta có: abcabc = abc000 + abc

                         = abc x 1000 + abc 

                         = abc x (1000 + 1)

                         = abc x 1001

                         = abc . 7 . 3 . 11

Vậy abcabc là tích của abc với 7 ;3;11 =>  abcabc chia hết cho 7, 11 và 13