Có 50 tấm thẻ, trên mỗi tấm thẻ có ghi một số nguyên dương không vượt quá 50; và hai số ghi trên hai tấm thẻ bất kỳ là khác nhau. Hỏi có hay không số nguyên dương n sao cho ta có thể xếp 50 tấm thẻ đó vào n chiếc hộp, thỏa mãn điều kiện: Trong mỗi hộp, có thể chia các tấm thẻ thành hai nhóm mà tổng các số ghi trên các tấm thẻ của một nhóm bằng tổng các số ghi trên các tấm thẻ của nhóm còn lại? (Nếu trong nhóm chỉ có một tấm thẻ thì tổng các số ghi trên các tấm thẻ của nhóm đó là số ghi trên chính tấm thẻ ấy.)

1. Cho tam giác ABC có đọ dài các đường hân giác trog nhỏ hơn 1.

Chứng minh rằng diện tích tam giác đó nhỏ hơn \(\frac{\sqrt{3}}{3}\) 

2. Trên mặt phẳng cho 2012 điểm , khoảng cách giữa chúng đôi một khác nhau. Nối mỗi điểm trong 2012 điểm này với điểm gần nhất.

CMR với cách nối này ta không thể nhận được một đường gấp khúc khép kín

3. Trên mặt phẳng cho 2012 điểm không thẳng hàng.

CMR tồn tại một đường tròn đi qua 3 trong 2012 điểm đã cho mà đường tròn này không chứa bất kì điểm nào trong số những điểm còn lại

4. Trên mặt phẳng cho n điểm sao cho khoảng cách giữa 2 điểm bất kì đôi một khác nhau. Người ta nối mỗi điểm với điểm gần nhất.

CMR qua mỗi điểm co không quá 5 đoạn thẳng

5. Cho 7 số nguyên dương khác nhau không vượt quá 1706. 

CMR tồn tại 3 số a, b, c trong chúng sao cho a<b+c<4a