Ta có:

\(M=\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}+...+\frac{1}{3^{99}}\)

\(\Rightarrow3M=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{3^{98}}\)

\(\Rightarrow3M-M=\left(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{3^{98}}\right)-\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}+...+\frac{1}{3^{99}}\right)\)

\(\Rightarrow2M=1-\frac{1}{3^{98}}\)

\(\Rightarrow M=\left(1-\frac{1}{3^{98}}\right):2\)

\(\Rightarrow M=\frac{1}{2}-\frac{1}{3^{98}.2}< \frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow M< \frac{1}{2}\left(đpcm\right)\)

cảm ơn bạn nha

Đặt \(A=\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{3^{99}}.\)

\(\Rightarrow\frac{1}{3}A=\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}+...+\frac{1}{3^{100}}\)

\(\Rightarrow A-\frac{1}{3}A=\left(\frac{1}{3^2}-\frac{1}{3^3}\right)+\left(\frac{1}{3^3}-\frac{1}{3^3}\right)+...+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{3^{100}}\right)\)

\(\Rightarrow\frac{2}{3}A=\frac{1}{3}-\frac{1}{3^{100}}< \frac{1}{3}.\)

\(\Rightarrow A< \frac{1}{3}:\frac{2}{3}\)

\(\Rightarrow A< \frac{1}{2}\left(đpcm\right)\)

Vậy \(A< \frac{1}{2}.\)

Chúc bạn học tốt!

Tử số=1/2+2/3+3/4+...........+99/100 
=1-1/2+1-1/3+1-1/4+...........+1-1/100
=1.100-(1/2+1/3+1/4+............+1/100)
=100-(1/2+1/3+1/4+............+1/100)
=Mẫu số
=>Phép tính trên có giá trị bằng 1.

CM gì hả bạn?

chắc đề là z M=1/3+1/3^2+1/3^3+....+1/3^99. CMR: M<1/2

Ta có:1/(3^n)+1/(3^(n+1))=2/(3^(n+1))(cái này bạn tự quy đồng ra ra nhé!).
Áp dụng ta có:1-1/3=2/3
1/3-1/(3^2)=2/(3^2)
1/(3^2)-1/(3^3)=2/(3^3)
....
1/(3^98)-1/(3^99)=2/(3^99).
Cộng từng vế các phép tính với nhau ta có:1-1/(3^99)=2M.
Mà 1-1/(3^99)<1 nên 2M<1 nên M<1/2(điều phải chứng minh)