\(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}\)\(\Rightarrow\left(\frac{a}{b}\right)^2=\left(\frac{b}{c}\right)^2=\frac{a^2}{b^2}=\frac{b^2}{c^2}=\frac{a^2+b^2}{b^2+c^2}\)

mà \(\left(\frac{a}{b}\right)^2=\frac{a}{b}.\frac{a}{b}=\frac{a}{b}.\frac{b}{c}=\frac{a}{c}\)

\(\Rightarrow\frac{a^2+b^2}{b^2+c^2}=\frac{a}{c}\)

\(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}\Rightarrow\frac{a}{b}.\frac{b}{c}=\frac{a}{b}.\frac{a}{b}=\frac{b}{c}.\frac{b}{c}\Rightarrow\frac{a}{c}=\frac{a^2}{b^2}=\frac{b^2}{c^2}=\frac{a^2+b^2}{b^2+c^2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^2}{b^2}=\frac{b^2}{c^2}=\frac{a}{b}.\frac{b}{c}=\frac{a}{c}=\frac{a^2+b^2}{b^2+c^2}\)

\(a^2=bc\)

\(\Rightarrow\frac{a}{c}=\frac{b}{a}\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau; ta có :

\(\frac{a}{c}=\frac{b}{a}=\frac{a+b}{c+a}=\frac{a-b}{c-a}\)

\(\Rightarrow\frac{a+b}{a-b}=\frac{c+a}{c-a}\)

Từ a/b = b/c 

Suy ra : bb = ac 

b² = ac 

vậy : a² + b² / b²+ c² = a² + ac / ac + c² = a(a+c) / c(a+c) = a/c 

Vậy : Ta có được cái cần chứng minh :)) 
Lớp mình vừa kiểm tra 15' bài này xong . 

cảm ơn bạn

tham khảo trên vietjack.com í

Ta có a² = bc 

<=> a . a = b .c 

<=> \(\frac{a}{b}=\frac{c}{a}\Leftrightarrow\frac{b}{a}=\frac{a}{c}\)

Áp dụng t/c dãy tỉ số = nhau , ta có 

\(\frac{b}{a}=\frac{a}{c}=\frac{a+b}{a+c}\)(1)

\(\frac{b}{a}=\frac{a}{c}=\frac{a-b}{c-a}\)(2)

(1),(2) \(\Leftrightarrow\frac{a+b}{a+c}=\frac{a-b}{c-a}\Leftrightarrow\frac{a+b}{a-b}=\frac{c+a}{c-a}\left(đpcm\right)\)

Từ \(\frac{1}{c}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\Rightarrow\frac{1}{c}=\frac{1}{2}\left(\frac{a+b}{ab}\right)\)

\(\Rightarrow\frac{1}{c}=\frac{a+b}{2ab}\)

\(\Rightarrow2ab=c.\left(a+b\right)\)

\(\Rightarrow ab+ab=ac+bc\)

\(\Rightarrow ab-bc=ac-ab\)

\(\Rightarrow b.\left(a-c\right)=a.\left(c-b\right)\)

\(\Rightarrow\frac{a}{b}=\frac{a-c}{c-b}\)