Do p nguyên tố nên:

+) Xét p = 2 ta có: p² + 8 = 2² + 8 = 12 là hợp số (loại)

+) Xêt p = 3 ta có: p² + 8 = 3² + 8 = 17 là nguyên tố (chọn)

+) Xét p > 3  => p = 3k + 1  hoặc  p = 3k + 2

Khi p = 3k + 1  => p² + 8 = (3k + 1)² + 8 = 9k² + 3k + 1 + 8 = 9k² + 3k + 9 = 3(3k² + k + 3) chia hết cho 3  => p² + 8 là hợp số (loại) 

Khi p = 3k + 2  => p² + 8 = (3k + 2)² + 8 = 9k² + 6k + 4 + 8 = 9k² + 6k + 12 = 3(3k² + 2k + 4) chia hết cho 3  => p² + 8 là hợp số (loại) 

=> p = 3 để p và p² + 8 là nguyên tố 

Khi đó: p² + 2 = 3² + 2 = 11 là nguyên tố

Vậy nếu p và p² + 8 là nguyên tố thì p² + 2 cũng nguyên tố.

Do p là số nguyên tố nên p là số tự nhiên.

Xét p = 3k + 1=> p² + 8 = ( 3k + 1 )² + 8 = 9k² + 6k + 9 \(⋮\) 3 ( là hợp số )

Xét p = 3k + 2 => p² + 8 = ( 3k + 2 )² + 8 = 9k² + 12k + 12 \(⋮\) 3 ( là hợp số )

Xét p = 3k => k = 1 do p là số nguyên tố => p² + 8 = 9 + 8 = 17 ( thỏa mãn )

Ta có : p² + 2 = 11. Mà 11 là số nguyên tố => Điều cần chứng minh

Bài này cũng giống như bài tìm p nguyên tố sao cho p²+8 là số nguyên tố thôi

Cách làm cũng giống luôn

Xét p=2

... loại

Xétp=3

... thỏa mãn

Xét p> 3 thì dùng đồng dư

Ta có: \(p\equiv\pm1\left(mod3\right)\)

\(\Rightarrow p^2\equiv1\left(mod3\right)\)

\(\Rightarrow p^2+8\equiv9\left(mod3\right)\)

\(\Rightarrow p^2+8⋮3\)

Mà \(p^2+8>3\)

Nên là hợp số ( loại)

Từ: \(p^2-q^2=p-3q+1\)\(\Rightarrow p^2-p=q^2-3q+1\Rightarrow p\left(p-1\right)=q\left(q-1\right)-2q+1\)(1)

Ta thấy p(p-1) và q(q-1) luôn chẵn; Nên Vế trái của (1) chẵn; Vế phải của 1 luôn lẻ với mọi p; q

Nên không có p; q nguyên nào thỏa mãn điều kiện đề bài.

p(p-1)=(q-1)(q-2) (*) 
=> p | q-1 hoặc p | q-2 
do p nguyên tố, (q-1;q-2)=1 

1.Nếu p|q-1 thì p <= q-1 
Từ (*) suy ra p-1>=q-2 
=> p>=q-1 
Do đó p=q-1 
Mà p,q nguyên tố nên p=2,q=3 
Khi đó p^2+q^2=13 là số nguyên tố 
2.Xét p|q-2 
Từ (*) => q-2 > 0 
Lập luận tương tự TH1 dẫn tới mâu thuẫn