Gọi d là UCLN (10n+1,15n+2)

\(\Leftrightarrow10n+1⋮d;15n+2⋮d\)

\(\Leftrightarrow3\left(10n+1\right)⋮d;2\left(15n+2\right)⋮d\)

\(\Leftrightarrow30n+3⋮d;30n+4⋮d\)

\(\Leftrightarrow\left(30n+4\right)-\left(30n+3\right)⋮d\)

\(\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d=1\)

\(\Rightarrow\frac{10n+1}{15n+2}\) là phân số tối giản

\(\RightarrowĐFCM\)

Với n nguyên : 

( 10n + 1 ; 15 n + 2 ) = ( 10n + 1; ( 15n +  2 ) - ( 10 n + 1) ) = ( 10n + 1; 5n + 1 ) = ( 5n + 1 ; 5n ) = ( 5n ; 1 ) = 1 

=> 10n + 1 và 15n + 2 là 2 số nguyên tố cùng nhau với n nguyên 

=> 10n + 1/ 15n + 2 là phân số tối giản. 

có j thắc mắc ib mk nhé

Gọi d là ƯCLN của 10n + 1 và 15n + 2 ( d \(\in\)N* ) 

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}10n+1⋮d\\15n+2⋮d\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}3\left(10n+1\right)⋮d\\2\left(15n+2\right)⋮d\end{cases}}}\)\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}30n+3⋮d\\30n+4⋮d\end{cases}\Rightarrow\left(30n+4\right)-\left(30n+3\right)⋮d}\)

\(\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d=1\)

Vậy \(\frac{10n+1}{15n+2}\)là p/s tối giải.

gọi d=ƯCLN(10n+9;10n+8)

ta có 10n+9 chia hết cho d

         10n+8 chia hết cho d

=>10n+9-10n-8 chia hết cho d

=>1chia hết cho d

=>d=1

=>\(\frac{10n+9}{10n+8}\)là p/s tối giản

n thuộc Z nha !

\(\text{gọi d là ƯC(15n-7;9-20n)}\)         (1)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}15n-7⋮d\\9-20n⋮d\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}20\left(15n-7\right)⋮d\\15\left(9-20n\right)⋮d\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}300n-140⋮d\\135-300n⋮d\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\left(300n-140\right)+\left(135-300n\right)⋮d\)

\(\Rightarrow300n-140+135-300n⋮d\)

\(\Rightarrow\left(300n-300n\right)-\left(140-135\right)⋮d\)

\(\Rightarrow0-5⋮d\)

\(\Rightarrow-5⋮d\)

\(\Rightarrow d\inƯ\left(-5\right)=\left\{-1;1;-5;5\right\}\)            (2)

(1)(2) \(\RightarrowƯC\left(15n-7;9-20n\right)=\left\{-1;1;5;-5\right\}\)

                        mà \(15n-7⋮̸5\) vì \(15n⋮5;7⋮̸5\)

\(\RightarrowƯC\left(15n-7;9-20n\right)=\left\{-1;1\right\}\)

vậy phân số \(\frac{15n-7}{9-20n}\) là p\s tối giản \(\forall n\in Z\)

a: Gọi d=ƯCLN(15n+1;30n+1)

=>30n+2-30n-1 chia hết cho d

=>1 chia hết cho d

=>Đây là phân số tối giản

b: Gọi d=ƯCLN(3n+2;5n+3)

=>15n+10-15n-9 chia hết cho d

=>1 chia hết cho d

=>d=1

=>Phân số tối giản

a) Gọi ƯC(2n+1,4n+6) = d ( d thuộc Z)

Suy ra 2n+1 chia hết cho d

            4n+6 chia hết cho d

Suy ra 2(2n+1) chia hết cho d hay 4n+ 2 chia hết cho d

Suy ra 4n+ 6 - 4n - 2 chia hết cho d hay 4 chia hết cho d

Suy ra d thuộc {1;-1;2-2;4;-4}

Mà 2n + 1 không chia hết cho 2 và -2 nên d khác 2 và -2

      4n+6 không chia hết cho 4 và -4 nên d khác 4 và -4

Suy ra d chỉ có thể là 1 và -1

Vậy 2n+1/4n+6 là phân số tối giản với mọi n

b)CÓ LẼ SAI ĐẦU BÀI

a) Gọi d là UCLN của (n+1;2n+3)

mà n + 1 \(⋮\)d nên 2n+3\(⋮\)d

\(\Rightarrow2.\left(n+1\right)⋮d\Leftrightarrow2n+2⋮d\)

\(\Rightarrow2n+3-\left(2n+2\right)⋮d\)

\(\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d=1\Rightarrow dpcm\)

mink nghĩ vậy bạn ạ, làm vậy thôi

Gọi ƯCLN ( 4n + 3 ; 10n + 7 ) = d \(\left(d\inℕ^∗\right)\)

Ta có : \(4n+3⋮d\Rightarrow20n+15⋮d\)(1) 

\(10n+7⋮d\Rightarrow20n+14⋮d\)(2)

Lấy (1) - (2) ta được : \(20n+15-20n-14⋮d\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d=1\)

Vậy ta có đpcm 

Gọi \(ƯCLN\left(4n+3;10n+7\right)=d\left(d\inℕ^∗\right)\)

Ta có:

\(\hept{\begin{cases}4n+3⋮d\\10n+7⋮d\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}5\left(4n+3\right)⋮d\\2\left(10n+7\right)⋮d\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}20n+15⋮d\\20n+14⋮d\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\left(20n+15\right)-\left(20n+14\right)⋮d\)

\(\Rightarrow20n+15-20n-14⋮d\)

\(\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d=1\)(vì \(d\inℕ^∗\))

Do đó \(ƯCLN\left(4n+3;10n+7\right)=1\)

\(\Rightarrow\frac{4n+3}{10n+7}\)là phân số tối giản với mọi số tự nhiên n (điều phải chứng minh).

Tổng quát :  \(\frac{a}{b}\)là phân số tối giản \(\LeftrightarrowƯCLN\left(a;b\right)=1\)(tức là 2 số a và b nguyên tố cùng nhau).