Ta có 5^2020+5^2019+5^2018 = 5^2018*(5^2+5^1+1)

    =5^2018*31 chia hết cho 31.

\(5^{2020}+5^{2019}+5^{2018}\)

\(=5^{2018}.25+5^{2018}.5+5^{2018}\)

\(=5^{2018}.\left(25+5+1\right)=5^{2018}.31⋮31\)

= 5^2017( 1+5-5^2)

=5^2017. (-19) chia hết cho 19

\(5^{2017}+5^{2018}-5^{2019}=5^{2017}\left(1+5-5^2\right)=5^{2017}\left(-19\right)⋮19\)

A=7 mu 2020 mu 2019-3 mu 2016 mu 2015 :5 chung to A la so chan

tìm chữ số tận cung của tổng trên ra

\(A=2^{2015}+2^{2016}+2^{2017}+2^{2018}+2^{2019}+2^{2020}.\)

\(=2^{2014}\left(2+2^2+2^3+2^4+2^5+2^6\right)\)

\(=126.2^{2014}\)

\(=42.3.2^{2014}⋮42\)

\(A=\dfrac{7^{2020^{2019}}-3^{2016^{2015}}}{5}\)

Xét \(X=2020^{2019}\) và \(Y=2016^{2015}\). Khi đó \(A=\dfrac{7^X-3^Y}{5}\).

Vì cơ số của X tận cùng bằng 0 nên 0.0.0...0 luôn tận cùng bằng 0. Suy ra chữ số tận cùng của X là 0.

Ngoài ra, 2020²⁰¹⁹ sẽ có 2019 chữ số 0 ở sau cùng, suy ra hai chữ số tận cùng của X là những chữ số 0. Suy ra X chia hết cho 4.

Vì cơ số của Y tận cùng bằng 6 nên 6.6.6...6 luôn tận cùng bằng 6. Suy ra chữ số tận cùng của Y là 6.

Dễ dàng nhận thấy rằng 2016 chia hết cho 4, suy ra Y cũng chia hết cho 4 (y ϵ N^*).

Do đó \(A=\dfrac{7^X-3^Y}{5}=\dfrac{7^{\overline{...0}}-3^{\overline{...6}}}{5}=\dfrac{7^{4x}-3^{4y}}{5}\)

Ta lập bảng

Dãy trên sẽ lặp lại với chu kì là 4 số hạng. Khi đó chữ số tận cùng của 7⁴ⁿ; 3⁴ⁿ lần lượt giống chữ số tận cùng của 7ⁿ; 3ⁿ.

Suy ra \(A=\dfrac{\overline{...1}-\overline{...1}}{5}=\dfrac{\overline{...0}}{5}\).

Dễ nhận thấy rằng A chia hết cho 5A chia hết cho 10. Mà 10 = 5.2 nên 5A cũng chia hết cho 2. Lại có 5 không chia hết cho 2 nên chỉ có trường hợp A chia hết cho 2 (đpcm)

Kiểm tra lại đề nhé bạn.

Ta có :

\(S=5+5^2+5^3+...+5^{2016}+5^{2017}\)

\(=\left(5+5^2+5^3+5^4\right)+\left(5^5+5^6+5^7+5^8\right)+...+\left(5^{2013}+5^{2014}+5^{2015}+5^{2016}\right)+5^{2017}\)

\(=\left(5+5^2+5^3+5^4\right)+5^4\left(5+5^2+5^3+5^4\right)+...+5^{2012}\left(5+5^2+5^3+5^4\right)+5^{2017}\)

\(=\left(1+5^4+5^8+...+5^{2012}\right)\left(5+5^2+5^3+5^4\right)+5^{2017}\)

\(=\left(1+5^4+5^8+...+5^{2012}\right).65.12+5^{2017}\)

Ta có :

\(5^4\text{≡}1\left(mod13\right)\)

\(\Rightarrow\left(5^4\right)^{504}\text{≡}1^{504}\left(mod13\right)\)

\(\Rightarrow5^{2016}\text{≡}\left(mod13\right)\)

\(\Rightarrow5^{2017}\text{≡}5\left(mod13\right)\)

Lại có :

\(\left(1+5^4+5^8+...+5^{2012}\right).65.12\text{ }\text{⋮}65\)

\(5^{2017}\)không chia hết cho 65

\(\Rightarrow\left(1+5^4+5^8+...+5^{2012}\right).65.12+5^{2017}\)không chia hết cho 65

\(\Rightarrow S\)không chia hết cho 65

Vậy \(S\)không chia hết cho 65

\(S=\left(5+5^2\right)+\left(5^3+5^4\right)+...+\left(5^{2015}+5^{2016}\right)+5^{2017}\)

\(S=130+5^2\left(5+5^2\right)+5^4\left(5+5^2\right)+...+5^{2014}\left(5+5^2\right)+5^{2017}\)

\(S=130+5^2.130+5^4.130+...+5^{2014}.130+5^{2017}\)

\(S=130\left(1+5^2+5^4+...+5^{2014}\right)+5^{2017}\)

Vì \(S=130\left(1+5^2+5^4+...+5^{2014}\right)\)chia hết cho 65 nhưng \(5^{2017}\)không chia hết cho 65

=> \(S=130\left(1+5^2+5^4+...+5^{2014}\right)+5^{2017}\)không chia hết cho 65

Vậy \(5+5^2+5^3+5^4+5^5+...+5^{2017}\)Không chia hết cho 65