\(\begin{array}{l}a)M = {32^{2023}} - {32^{2021}}\\M = {32^{2021}}\left( {{{32}^2} - 1} \right)\\M = {32^{2021}}.1023\end{array}\)

Vì \(1023 \vdots 31\) nên \(M = \left( {{{32}^{2021}}.1023} \right) \vdots 31\)

Vậy M chia hết cho 31.

\(\begin{array}{l}b)N = {7^6} + {2.7^3} + {8^{2022}} + 1\\N = {\left( {{7^3}} \right)^2} + {2.7^3} + 1 + {8^{2022}}\\N = {\left( {{7^3} + 1} \right)^2} + {8^{2022}}\\N = {\left( {344} \right)^2} + {8^{2022}}\\N = {\left( {8.43} \right)^2} + {8^{2022}}\\N = {8^2}\left( {{{43}^2} + {8^{2020}}} \right)\end{array}\)

Vì \({8^2} \vdots 8\) suy ra \(N = {8^2}\left( {{{43}^2} + {8^{2020}}} \right) \vdots 8\)

Vậy N chia hết cho 8

ta có 1983¹⁹⁸³-1917¹⁹¹⁷=\(\left(1983-1917\right).\left(1983+1917\right)\)

=\(66.\left(3900\right)\)=66.39.100  chia hết cho 10

 Vậy ........

\(1983^{1983}=\left(1983^4\right)^{495}.1983^3=\overline{....1}\cdot\overline{....7}=\overline{....7}\)(1)

\(1917^{1917}=\left(1917^4\right)^{479}\cdot1917=\overline{....1}\cdot1917=\overline{....7}\)(2)

Trừ vế theo vế \(\Rightarrow\left(1\right)-\left(2\right)=\overline{......0}⋮10\)

Vậy...

`N = 7^6 + 2.7^3 + 1 + 8^2022`

`= (7^3+1)^2 + 8^2022`.

Ta có: `7^3 + 1 vdots 7 + 1 =8`

`8^2022 vdots 8`

`=> N vdots 8`

(1981 x 1982 - 990) : (1980 x 1982 + 992)

=(1980 x 1982+1982 -990) : (1980 x 1982 +992)

=(1980 x 1982 + 992) : ( 1980 x 1982 + 992)

=1

\(69^2-69.5=69.69-69.5=69.\left(69-5\right)=69.64=69.2.32\) 

\(32\text{≡}1\left(mod31\right)\)

\(\Rightarrow32^{507}\text{≡}32^{566}\text{≡}1\left(mod31\right)\)

\(\Rightarrow32^{507}-32^{566}\text{≡}1-1\text{≡}0\left(mod31\right)\)

Vậy...

ý của bạn ấy là bạn có ti ck đâu mà làm

Bài 1 A=xyz+xz-zy-z+xy+x-y-1

thay các gtri x=-9, y=-21 và z=-31 vào là đc

=> A=-7680

Bài 2:a) n³ + 3n² + 2n = n²(n + 1) + 2n(n + 1) = n(n + 1)(n + 2)
số chia hết cho 6 là số chia hết cho 2 và 3
mà (n + 1) chia hết cho 2 và 3 với mọi số nguyên n
(n + 2) chia hết cho 2 và 3 với mọi số nguyên n
=>n³ + 3n² + 2n luôn chia hết cho 6 với mọi số nguyên n

b) 49ⁿ+77ⁿ-29ⁿ-1

=\(49^n-1+77^n-29^n\)

=\(\left(49-1\right)\left(49^{n-1}+49^{n-2}+...+49+1\right)+\left(77-29\right)\left(79^{n-1}+..+29^n\right)\)

=48(\(49^{n-1}+...+1+77^{n-1}+...+29^{n-1}\))

=> tích trên chia hết 48

c) 35x-14y+2⁹-1=7(5x-2y)+7.73

=7(5x-2y+73) tích trên chia hết cho 7

=. ĐPCM

$\text{Ta coˊ :}\genfrac{}{}{0ex}{}{x}{xy+x+1}+\genfrac{}{}{0ex}{}{y}{yz+y+1}+\genfrac{}{}{0ex}{}{z}{xz+z+1}$

$=\genfrac{}{}{0ex}{}{x}{xy+x+1}+\genfrac{}{}{0ex}{}{xy}{xyz+xy+x}+\genfrac{}{}{0ex}{}{xyz}{x^{2}yz+xyz+xy}$

$=\genfrac{}{}{0ex}{}{x}{xy+x+1}+\genfrac{}{}{0ex}{}{xy}{xy+x+1}+\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{xy+x+1}\left(\text{Vıˋ }xyz=1\right)$

$=\genfrac{}{}{0ex}{}{x+xy+1}{xy+x+1}$

$=1$

Ta có thể viết lại A và B dưới dạng:

A = 29!

B = (58!/29!) / 30

Ta sẽ chứng minh rằng A + B chia hết cho 59 bằng cách chứng minh rằng A ≡ -B (mod 59).

Đầu tiên, ta áp dụng định lý Wilson: (p-1)! ≡ -1 (mod p) nếu p là số nguyên tố. Áp dụng định lý này với p = 59, ta có:

58! ≡ -1 (mod 59)

Ta nhân cả hai vế của phương trình trên với 29!, ta được:

29!(58!) ≡ -29! (mod 59)

Nhưng ta biết rằng 29! ≡ A (mod 59) và (58!/29!) ≡ B (mod 59), do đó ta có:

A * B ≡ -A (mod 59)

Thêm A vào cả hai vế của phương trình, ta được:

A + A * B ≡ 0 (mod 59)

Nhưng ta biết rằng A + B = 29! + (58!/29!) / 30, do đó:

A + B ≡ A + A * B (mod 59)

Vậy ta kết luận được rằng A + B chia hết cho 59.