Ta có: \(n^3-n=n\left(n^2-1\right)=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)=\left(n-1\right)\left(n+1\right)\)

Vì \(n\in Z\Rightarrow\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\)là tích của ba số nguyên liên tiếp \(A'⋮3!\)

Hay \(n^3-n⋮6\). Nên \(\left(11^3-11\right)+\left(12^3-12\right)+...+\left(1945^3-1945\right)⋮6\)

\(\Rightarrow\left(11^3+12^3+...+1945^3\right)-\left(11+12+...+1945\right)⋮6\)

Mà

\(11+12+...+1945=\frac{1935\left(1945+11\right)}{2}=\frac{1935.1956}{2}=1935.978=1935.163.6⋮6\)

Do đó, suy ra \(11^3+12^3+...+1945^3⋮6\left(\text{đ}pcm\right)\)

1) Đặt A = n⁶ - 1 = ( n³ - 1)( n³ + 1) = ( n - 1)( n² + n + 1)( n +1)(n² - n + 1)

Nếu n không chia hết cho 7 thì:

Xét nếu n = 7k + 1 thì n - 1 = 7k + 1 - 1 = 7k chia hết cho 7 nên A chia hết cho 7

Nếu n = 7k + 2 thì n² + n + 1 = (7k + 2)² + 7k + 2 + 1 = 7(7k² +3k+1) chia hết cho 7 nên A chia hết cho 7

Tương tự đến trường hợp n = 7k + 6

=> Nếu n không chia hết cho 7 thì n⁶ - 1 chia hết cho 7

Mà n⁶ - 1 = (n³ - 1)(n³ + 1)

Do đó: n³ - 1 chia hết cho 7 hoặc n³ - 1 chia hết cho 7

3) n(n + 1)(2n + 1)

= n(n + 1)[(n + 2) + (n - 1)]

= n(n + 1)(n + 2) + n(n + 1)(n - 1)

Vì n(n + 1)(n + 2) là tích của ba số tự nhiên liên tiếp

Nên n(n + 1)(n + 2) chia hết cho 6 (1)

Vì n(n + 1)(n - 1) là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp

Nên n(n + 1)(n - 1) chia hết cho 6 (2)

Từ (1), (2) => Đpcm

7a+25b+61c=(6a+24b+60c)+(a+b+c) chia hết cho 6, mà 6a+24b+60c chia hết cho 6 => a+b+c chia hết cho 6

Từ hằng đẳng thức: a³ + b³ + c³ - 3abc = (a + b + c)(a² + b² + c² - ab - bc - ac)

Ta thấy vế phải chia hết cho 6 nên vế trái chia hết cho 6

Ta có a+b+c chia hết cho 6 nên a+b+c chẵn. 

a+b+c chẵn khi cả 3 số đều chẵn hoặc có 1 số chẵn và 2 số lẻ => tích abc chẵn => abc=2n => 3abc=6n chia hết cho 6

Vế trái của hằng đẳng thức chia hết cho 6 mà 3abc chia hết cho 6 nên a³+b³+c³ chia hết cho 6

Mình chứng minh: 

\(\left(a^3+b^3+c^3\right)-\left(a+b+c\right)⋮6\)

tương tự như link: Câu hỏi của Cỏ dại - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath

Ta có:  \(\left(a^3+b^3+c^3\right)-\left(a+b+c\right)⋮6\) (1 )

( => )

Cho  \(a^3+b^3+c^3⋮6\)

 (1) => \(a+b+c⋮6\)

( <= ) 

Cho:  \(a+b+c⋮6\)  

(1) => \(a^3+b^3+c^3⋮6\)

Vậy \(a^3+b^3+c^3⋮6\)<=> \(a+b+c⋮6\). 

ta có 

\(A=a^3-a-6a^2-6a+12=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)-6\left(a^2-a-2\right)\)

do a là số nguyên nên \(â\left(a-1\right)\left(a+1\right)\)chia hết cho 6

mà hiển nhiên \(-6\left(a^2-a-2\right)\)chia hết cho 6

vậy A chia hết cho 6