E mới hk lớp 8 nên chỉ thử có j thông cảm!!

Giả sử tồn tại số tự nhiên n thỏa mãn \(n^2+3n+5⋮121\)

=> \(4\left(n^2+3n+5\right)⋮121\)

=> \(\left(4n^2+12n+9\right)+11⋮121\)

=> \(\left(2n+3\right)^2+11⋮121\)

Vì \(4\left(n^2+3n+5\right)⋮11\)  ( vì \(121⋮11\)) và \(11⋮11\)

=> \(\left(2n+3\right)^2⋮11\)

=> \(\left(2n+3\right)^2⋮121\)  ( vì 11 là số nguyên tố)

=> \(\left(2n+3\right)^2+11\) không chia hết cho 121  ( vì 11 không chia hết cho 121)

hay \(4\left(n^2+3n+5\right)\) không chia hết cho 121

=> \(n^2+3n+5\) ko chia hết cho 121 ( vì 4 và 121 nguyên tố cùng nhau)   ( đpcm)

CMR : a)n(n^2+12)+(2_ngày)(n^2_3n+1)(n^2_3n+1)+8 chia hết cho 5 với mọi n thuộc Z

b)n^5_n chia hết cho 30

Ta có: 30=5.6, mà (5;6)=1 nên ta chứng minh n⁵-n chia hết cho 5 và 6

+) n⁵-n=n(n⁴-1)=n(n²-1)(n²+1)=n(n-1)(n+1)(n²-4+5)=n(n-1)(n+1)(n²-4)+5n(n-1)(n+1)

                                                                                  =(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)+5n(n-1)(n+1)

   Vì (n-2)(n-1)n(n+1)(n+2) là tích của 5 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 5

        5n(n-1)(n+1) chia hết cho 5

    => n⁵-n chia hết cho 5              (1)

+) n⁵-n=n(n⁴-1)=n(n²-1)(n²+1)=n(n-1)(n+1)(n²+1)

                                                =(n-1)n(n+1)(n²+1)

Vì (n-1)n(n+1) là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 6

=> (n-1)n(n+1)(n²+1) chai hết cho 6

=> n⁵-n chia hết cho 6                       (2)

  Từ (1) và (2) => n⁵-n chia hết cho 30

               Vậy n⁵-n chia hết cho 30   (đpcm)       

a)\(n^2+3n+5\)

\(=\left(11k+4\right)^2+3\left(11k+4\right)+5\)

\(=121k^2+88k+16+33k+12+5\)

\(=121k^2+121k+33⋮11\)\(\Rightarrow n^2+3n+5⋮11\)

b)Có: \(n^2+3n+5\)\(=121k^2+121k+33\)\(⋮̸\)\(121\)

\(\Rightarrow n^2+3n+5⋮̸\)\(121\)

Giả sử tồn tại số tự nhiên n sao cho \(n^2+5n-13⋮121\)

\(\Leftrightarrow\left(n^2-6n+9\right)+11n-22⋮11\) ( Do \(121⋮11\) )

\(\Leftrightarrow\left(n-3\right)^2+11\left(n-2\right)⋮11\)

\(\Rightarrow\left(n-3\right)^2⋮11\)

Mà 11 là số nguyên tố \(\Rightarrow n-3⋮11\) \(\Rightarrow n=11a+3\left(a\in N\right)\)Thay n = 11a + 3 vào ta có:\(\left(11a+3\right)^2+5\left(11a+3\right)-13=121a^2+121a+11⋮̸121\)

\(\Rightarrow\) Vô lí điều ta đã giả sử

\(\Rightarrow\) \(\forall n\in N\) thì \(n^2+5n-13⋮̸121\) ( đpcm)

ta có: n²+n+1= (n+2)(n-1) +3 
ta thấy hiệu hai số: (n+2) -(n-1) =3 chia hết cho 3 
suy ra: 
( *) hoặc (n+2) và (n-1) cùng chia hết cho 3, khi đó (n+2)(n-1) chia hết cho 9 nhưng 3 không chia hết cho 9 , dó đó (n+2)(n-1) +3 không chia hết cho 9 hay n²+n+1 không chia hết cho 9 
(**) hoặc (n+2) và (n-1) cùng không chia hết cho 3, khi đó (n+2)(n-1) ko chia hết cho 3,suy ra (n+2)(n-1) +3 ko chia hết cho 3. Mà đã không chia hết cho 3 thì đương nhiên không chia hết cho 9 rồi
------Cho 1 Đ.ú.n,g nhé

Nếu n chia hết cho 3 => n^2 chia hết cho 3 => A chia 3 dư 2

Nếu n chia 3 dư 1 => n^2 chia 3 dư 1 => A chia 3 dư 1

Nếu n chia 3 dư 2 => n^2 chia 3 dư 1 => A chia 3 dư 2

=> ĐPCM

k mk nha

C=9n^3