Đặt P = n⁵ - 5n³ + 4n 

= n⁵ - n³ - 4n³ + 4n 

= n³(n² - 1) - 4n(n² - 1) 

= n³(n - 1)(n + 1) - 4n(n - 1)(n + 1) 

= (n - 1)n(n + 1)(n² - 4) 

= (n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n + 2) (tích 5 số nguyên liên tiếp) 

=> P \(⋮3;5;8\)

mà (3;5;8) = 1

=> P \(⋮3.5.8=120\)

a: Với n=3 thì \(n^3+4n+3=3^3+4\cdot3+3=42⋮̸8\) nha bạn

b: Đặt \(A=n^3+3n^2-n-3\)

\(=\left(n^3+3n^2\right)-\left(n+3\right)\)

\(=n^2\left(n+3\right)-\left(n+3\right)\)

\(=\left(n+3\right)\left(n^2-1\right)\)

\(=\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n+3\right)\)

n lẻ nên n=2k+1

=>\(A=\left(2k+1-1\right)\left(2k+1+1\right)\left(2k+1+3\right)\)

\(=2k\cdot\left(2k+2\right)\left(2k+4\right)\)

\(=8k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\)

Vì k;k+1;k+2 là ba số nguyên liên tiếp

nên \(k\left(k+1\right)\left(k+2\right)⋮3!=6\)

=>\(A=8k\left(k+1\right)\left(k+2\right)⋮6\cdot8=48\)

c: 

d: Đặt \(B=n^4-4n^3-4n^2+16n\)

\(=\left(n^4-4n^3\right)-\left(4n^2-16n\right)\)

\(=n^3\left(n-4\right)-4n\left(n-4\right)\)

\(=\left(n-4\right)\left(n^3-4n\right)\)

\(=n\left(n-4\right)\left(n^2-4\right)\)

\(=\left(n-4\right)\cdot\left(n-2\right)\cdot n\cdot\left(n+2\right)\)

n chẵn và n>=4 nên n=2k

B=n(n-4)(n-2)(n+2)

\(=2k\left(2k-2\right)\left(2k+2\right)\left(2k-4\right)\)

\(=2k\cdot2\left(k-1\right)\cdot2\left(k+1\right)\cdot2\left(k-2\right)\)

\(=16k\left(k-1\right)\left(k+1\right)\left(k-2\right)\)

Vì k-2;k-1;k;k+1 là bốn số nguyên liên tiếp

nên \(\left(k-2\right)\cdot\left(k-1\right)\cdot k\cdot\left(k+1\right)⋮4!=24\)

=>B chia hết cho \(16\cdot24=384\)

Lời giải:

Đặt
\(A=4n^2(n+2)+4n(n+20)\)

\(=4n(n^2+2n+n+20)=4n(n^2+3n+20)\)

Nếu $n$ chẵn thì \(4n\vdots 8\Rightarrow A\vdots 8\)

Nếu $n$ lẻ thì $n^2$ lẻ, $3n$ lẻ nên $n^2+3n+20$ chẵn

\(\Rightarrow 4(n^2+3n+20)\vdots 8\Rightarrow A\vdots 8\)

Vậy $A\vdots 8(1)$

-------

Mặt khác, xét số dư của $n$ khi chia cho $3$

\(\bullet n=3k\Rightarrow A=4n(n^2+3n+20)\vdots 3\)

\(\bullet n=3k+1\Rightarrow A=4n(9k^2+6k+1+3n+20)\)

\(=4n(9k^2+6k+3n+21)=12n(3k^2+2k+n+7)\vdots 3\)

\(\bullet n=3k+2\Rightarrow A=4n(9k^2+12k+4+3n+20)\)

\(=12n(3k^2+4k+n+8)\vdots 3\)

Vậy $A\vdots 3 (2)$

Từ $(1);(2)$ mà $(3,8)$ nguyên tố cùng nhau nên $A\vdots (3.8)$ hay $A\vdots 24$ (đpcm)

Cách khác:

Ta có:
\(A=4n^2(n+2)+4n(n+20)\)

\(=4n(n^2+2n+n+20)=4n(n^2+3n+20)\)

\(=4n(n^2+3n+2)+4n.18=4n(n+1)(n+2)+72n\)

Ta thấy $n(n+1)(n+2)$ là tích 3 số tự nhiên liên tiếp nên \(n(n+1)(n+2)\vdots 6\Rightarrow 4n(n+1)(n+2)\vdots 24\)

Mà \(72n\vdots 24\)

Do đó: \(A=4n(n+1)(n+2)+72n\vdots 24\)

Ta có đpcm.

a) \(n^3-4n=n\left(n^2-4\right)=\left(n-2\right)n\left(n+2\right)\)

vì n chẵn nên đặt n=2k

\(=>\left(2k-2\right).2k.\left(2k+2\right)=8\left(k-1\right)k\left(k+1\right)\)

vì \(\left(k-1\right)k\left(k+1\right)\)là 3 số tn liên tiếp =>chia hết cho 2

=>\(8\left(k-1\right)k\left(k+1\right)\)chia hết cho 16

\(n^3+4n=n^3-4n+8n\)

đặt n=2k

=>\(8\left(k-1\right)k\left(k+1\right)+16k\)

mà \(8\left(k-1\right)k\left(k+1\right)\)chia hết cho 16 nên \(8\left(k-1\right)k\left(k+1\right)+16k\)chia hết cho 16

Ta có: n5−n=n(n4−1)=n(n−1)(n+1)(n2+1)

CM n5−n⋮3

Ta thấy n,n+1,n−1 là ba số nguyên liên tiếp nên chắc chắn tồn tại một số chia hết cho 3

⇒n(n−1)(n+1)⋮3⇔n5−n⋮3(1)

CM n5−n⋮5

+) n≡0(mod5)⇒n5−n=n(n−1)(n+1)(n2+1)⋮5

+) n≡1(mod5)⇒n−1≡0(mod5)⇒n5−n=n(n−1)(n+1)(n2+1)⋮5

+) n≡2(mod5)⇒n2≡4(mod5)⇒n2+1≡0(mod5)

⇒n5−n=n(n−1)(n+1)(n2+1)⋮5

+) n≡3(mod5)⇒n2≡9(mod5)⇒n2+1≡0(mod5)

⇒n5−n=n(n−1)(n+1)(n2+1)⋮5

+) n≡4(mod5)⇒n+1≡0(mod5)

⇒n5−n=n(n+1)(n−1)(n2+1)⋮5

Do đó, n5−n⋮5(2)

CM n5−n⋮16

Vì n lẻ nên đặt n=4k+1;4k+3 Khi đó:[n2=16k2+1+8kn2=16k2+9+24k⇒ n2≡1(mod8)

⇒n2−1⋮8

Mà n lẻ nên n2+1⋮2

Do đó n5−n=n(n2−1)(n2+1)⋮16(3)

Từ (1),(2),(3)⇒n5−n⋮(16.3.5=240) (đpcm)

Chúc bạn học tốt!

4n²(n+2)+4n(n+2)

=4n³+8n²+4n²+8n

=4n²+12n²+8n

=4n(n+3n+2)

Vì :24 chia hết cho 4 

\(\Leftrightarrow4n\left(n+3n+2\right)\)

\(\Rightarrowđpcm\)

1: \(\Leftrightarrow3n^3+n^2+9n^2+3n-3n-1-4⋮3n+1\)

\(\Leftrightarrow3n+1\in\left\{1;4;2;-2;-1;-4\right\}\)

\(\Leftrightarrow3n\in\left\{0;3;-3\right\}\)

hay \(n\in\left\{0;1;-1\right\}\)