giả sử trong ba số a, b, c không số nào là số dương. 

ta có: abc < 0 , mâu thuẫn 

do đó trong ba số a, b, c có ít nhất một số dương

 Cách 1 (đồ thị): Đầu tiên ta xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình sau: \(\left\{{}\begin{matrix}x>0\\y>0\\\dfrac{x}{3}+\dfrac{y}{4}\le1\end{matrix}\right.\) như sau:

 Sau đó ta tìm tất cả các điểm nguyên nằm ở miền trong tam giác OAB. Ta nhận thấy các điểm này là \(\left(1,1\right);\left(1,2\right);\left(2,1\right)\). Vậy các nghiệm (x; y) của bpt là \(\left(1;1\right),\left(1;2\right),\left(2;1\right)\)

Cách 2: (đại số)

 Ta có \(\dfrac{x}{3}+\dfrac{y}{4}\le1\)  nên \(\dfrac{x}{3}< 1\) \(\Leftrightarrow x< 3\) \(\Rightarrow x\in\left\{1,2\right\}\)

\(\dfrac{y}{4}< 1\Rightarrow y< 4\Rightarrow y\in\left\{1,2,3\right\}\)

 Thử lại, ta thấy chỉ có các cặp \(\left(x;y\right)=\left(1;1\right),\left(1;2\right),\left(2;1\right)\) là thỏa mãn. Vậy...

Tham khảo:

Dễ thấy: \(\overrightarrow u .\;\overrightarrow v \) cùng dấu với \(\cos \;\left( {\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v } \right)\) (do \(\left| {\overrightarrow u } \right|.\;\left| {\overrightarrow v } \right| > 0\)). Do đó:

+) \(\overrightarrow u .\;\overrightarrow v \;\; > 0\)  \( \Leftrightarrow \cos \;\left( {\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v } \right) > 0\) hay \({0^o} \le \left( {\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v } \right) < {90^o}\)

+) \(\overrightarrow u .\;\overrightarrow v \;\; < 0\) \( \Leftrightarrow \cos \;\left( {\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v } \right)\;\; < 0\) hay \({90^o} < \left( {\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v } \right) \le {180^o}\)

Vậy \(\overrightarrow u .\;\overrightarrow v \;\; > 0\)  nếu \({0^o} \le \left( {\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v } \right) < {90^o}\) và \(\overrightarrow u .\;\overrightarrow v \;\; < 0\) nếu \({90^o} < \left( {\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v } \right) \le {180^o}.\)

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:

\(\dfrac{a}{a+3\sqrt{bc}}+\dfrac{b}{b+3\sqrt{ca}}+\dfrac{c}{c+3\sqrt{ab}}\)

Ta áp dụng bất đẳng thức Cô si dạng \(2\sqrt{xy}\le x+y\) cho các căn thức ở mẫu, khi đó ta được:

\(\dfrac{a}{a+3\sqrt{bc}}+\dfrac{b}{b+3\sqrt{ca}}+\dfrac{c}{c+3\sqrt{ab}}\ge\) với biểu thức

\(\dfrac{2a}{2a+3b+3c}+\dfrac{2b}{3a+2b+3c}+\dfrac{2c}{3a+3b+2c}\)

Khi đó ta cần chứng minh: 

\(\dfrac{2a}{2a+3b+3c}+\dfrac{2b}{3a+2b+3c}+\dfrac{2c}{3a+3b+2c}\ge\dfrac{3}{4}\)

Đặt: \(\left\{{}\begin{matrix}x=2a+3b+3c\\y=3a+2b+3c\\z=3a+3b+2c\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2a=\dfrac{1}{4}\left(3y+3z-5x\right)\\2b=\dfrac{1}{4}\left(3z+3x-5y\right)\\2c=\dfrac{1}{4}\left(3x+3y-5z\right)\end{matrix}\right.\)

Khi đó đẳng thức trên được viết lại thành:

\(\dfrac{3y+3z-5x}{4x}+\dfrac{3z+3x-5y}{4y}+\dfrac{3x+3y-5z}{4z}\ge\dfrac{3}{4}\)

Hay: \(3\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{y}+\dfrac{x}{z}+\dfrac{z}{x}\right)-15\ge3\)

Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng theo bất đẳng thức Cô si.

Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c\)

Đặt \(x=\sqrt{a};y=\sqrt{b};z=\sqrt{c}\)

Khi đó bđt đã tro chở thành:

\(\dfrac{yz}{x^2+3yz}+\dfrac{zx}{y^2+3zx}+\dfrac{xy}{z^2+3xy}\le\dfrac{3}{4}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{3}-\dfrac{yz}{x^2+3yz}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{zx}{y^2+3zx}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{xy}{z^2+3xy}\ge1-\dfrac{3}{4}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x^2}{x^2+3yz}+\dfrac{y^2}{y^2+3zx}+\dfrac{z^2}{z^2+3xy}\ge\dfrac{3}{4}\) (đpcm)

Bằng phản chứng giả sử a và b đều âm 

\(\Rightarrow a< 0,b< 0\Rightarrow a+b< 0\)

Mà theo đề: \(a+b>0\)---> Mâu thuẫn giả thiết, vậy có ít nhất 1 trong a,b phải dương

a. a dương => a > 0; a \(\in\) Z⁺

Số liền sau của a là : a + 1

Mà 1 > 0; 1 \(\in\) Z⁺ => a + 1 > 0; a + 1 \(\in\) Z⁺

=>  Nếu a dương thì số liền sau a cũng dương.

b. a âm => a < 0; a \(\in\) Z^-

Số liền trước của a là: a - 1

Mà -1 < 0; -1 \(\in\) Z^- => a - 1 < 0; a - 1 \(\in\) Z^-

=>  Nếu a âm thì số liền trước a cũng âm.

c. Kết luận: Số liền sau của 1 số dương là 1 số dương, số liền trước của 1 số âm là 1 số âm.

a.a  dương => a > 0; a\(\in\) 2

Số liền sau của a là : a + 1

Mà 1 > 0; 1 \(\in\) Z⁺ => a + 1 > 0; a + 1 \(\in\) Z⁺

=> Nếu a dương thì số liền sau a cũng dương

b.a âm => a < 0; a\(\in\) Z

Số liền trước của a là : a - 1

Mà - 1 < 0; - 1 < 0; a - 1 \(\in\) Z

=> Nếu a âm thì số liền trước a cũng âm

c.Kết luận : Số liền sau của 1 số dương thì 1 số dương:số liền trước của 1 số âm thì 1 số âm