1+1=3 :)))

a,1/10²+1/11²+1/12²+...+1/100²<1/9.10+1/10.11+1/11.12+...+1/99.100=1/9-1/10+1/10-1/11+...+1/99-1/100

                                                                                                    =1/9-1/100=91/900<3/4

Vậy 1/10²+1/11²+1/12²+...+1/100²<3/4

b,1/2²+1/3²+1/4²+...+1/100²<1/1.2+1/2.3+1/3.4+...+1/99.100=1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+...+1/99-1/100

                                                                                        =1-1/100=99/100

Vậy 1/2²+1/3²+1/4²+...+1/100²<99/100

c,1/2²+1/3²+1/4²+...+1/100²<1/2²+(1/2.3+1/3.3+...+1/99.100)=1/4+(1/2-1/3+1/3-1/4+...+1/99-1/100)

                                                                                       =1/4+(1/2-1/100)=1/4+49/100=74/100<3/4=75/100

Vậy 1/2²+1/3²+1/4²+...+1/100²<3/4

\(a)\) Đặt \(A=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{100^2}\) ta có : 

\(A< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{99.100}\)

\(A< \frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}\)

\(A< 1-\frac{1}{100}=\frac{99}{100}< 1\)

Vậy \(A< 1\)

Chúc bạn học tốt ~ 

Ta có :\(100-\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{100}\right)\)

=\(\frac{1}{2}+\frac{2}{3}+\frac{3}{4}+...+\frac{99}{100}=\)\(\left(1-1\right)+\left(1-\frac{1}{2}\right)+\left(1-\frac{1}{3}\right)\)\(+...+\left(1-\frac{1}{100}\right)\)

=\(\left(1+1+1+....+1\right)\)\(-\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{100}\right)\)

=             \(99-\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{100}\right)\)

=  \(100-1-\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{100}\right)\)

=\(100-\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{100}\right)\)= vế trên (đpcm)

\(S=100-\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{100}\right)\)
\(S=\left(1+1+...+1\right)-\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{100}\right)\)
\(S=\left(1-1\right)+\left(1-\frac{1}{2}\right)+\left(1-\frac{1}{3}\right)+...+\left(1-\frac{1}{100}\right)\)
\(S=\frac{1}{2}+\frac{2}{3}+\frac{3}{4}+...+\frac{99}{100}\)
\(\RightarrowĐPCM\)

\(F=\frac{1}{2}-\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}-\frac{1}{2^4}+...+\frac{1}{2^{99}}-\frac{1}{2^{100}}\)

\(F=\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2^3}+....+\frac{1}{2^{99}}\right)-\left(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^4}+...+\frac{1}{2^{100}}\right)\)

\(F=\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+...+\frac{1}{2^{99}}+\frac{1}{2^{100}}\right)-2.\left(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^4}+...+\frac{1}{2^{100}}\right)\)

\(F=\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+...+\frac{1}{2^{99}}+\frac{1}{2^{100}}\right)-\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{2^{50}}\right)\)

\(F=\frac{1}{2^{51}}+\frac{1}{2^{52}}+...+\frac{1}{2^{100}}\)

\(E=\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+...+\frac{1}{2^{100}}\)

\(2E=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{2^{99}}\)

\(2E-E=\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{2^{99}}\right)-\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+...+\frac{1}{2^{100}}\right)\)

\(E=1-\frac{1}{2^{100}}\)

\(100-\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{100}\right)\)

\(\Leftrightarrow99-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}-\frac{1}{4}-...-\frac{1}{100}\)

\(\Leftrightarrow1+1+1+...+1-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}-\frac{1}{4}-...-\frac{1}{100}\)

\(\Leftrightarrow1-\frac{1}{2}+1-\frac{1}{3}+1-\frac{1}{4}+...+1-\frac{1}{100}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{2}+\frac{2}{3}+\frac{3}{4}+...+\frac{99}{100}\)

\(\Rightarrow100-\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{100}\right)=\frac{1}{2}+\frac{2}{3}+\frac{3}{4}+...+\frac{99}{100}\)\(\left(đpcm\right)\)

\(a)\) Đặt \(A=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{2010^2}\) ta có : 

\(A< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{2009.2010}\)

\(A< \frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2009}-\frac{1}{2010}\)

\(A< 1-\frac{1}{2010}=\frac{2009}{2010}< 1\)

\(\Rightarrow\)\(A< 1\) ( đpcm ) 

Vậy \(A< 1\)

Chúc bạn học tốt ~ 

yamate