TH1:p<3

                   +Vì p<3;mà p là số nguyên tố =>p=2.

                   Với p=2 ta có:p³+2=2³+2=8+2=10(là hợp số nên loại)

                   TH2:p>3

                   +vì p>3 nên=>p=6k+1 hoặc p=6k+5.

                   Với p=6k+1 ta có :p³+2=(6k+1)³+2=6k³+1+2=6k³+3:3(là  hợp số nên loại)

                   Với p=6k+5 ta có:p³+2=(6k+5)³+2=6k³+125+2=6k³+127(vì UCLN(6k³;127)=1=>6k³+127 là số nguyên tố nên nhận)

                                                          Vậy với p=6k+5 thì p³+2 cũng là số nguyên tố.

Dễ

Do p nguyên tố nên:

+) Xét p = 2 ta có: p² + 8 = 2² + 8 = 12 là hợp số (loại)

+) Xêt p = 3 ta có: p² + 8 = 3² + 8 = 17 là nguyên tố (chọn)

+) Xét p > 3  => p = 3k + 1  hoặc  p = 3k + 2

Khi p = 3k + 1  => p² + 8 = (3k + 1)² + 8 = 9k² + 3k + 1 + 8 = 9k² + 3k + 9 = 3(3k² + k + 3) chia hết cho 3  => p² + 8 là hợp số (loại) 

Khi p = 3k + 2  => p² + 8 = (3k + 2)² + 8 = 9k² + 6k + 4 + 8 = 9k² + 6k + 12 = 3(3k² + 2k + 4) chia hết cho 3  => p² + 8 là hợp số (loại) 

=> p = 3 để p và p² + 8 là nguyên tố 

Khi đó: p² + 2 = 3² + 2 = 11 là nguyên tố

Vậy nếu p và p² + 8 là nguyên tố thì p² + 2 cũng nguyên tố.

\(\frac{2013n^2+3}{8}\inℤ\Leftrightarrow2013n^2+3⋮8\Leftrightarrow8.251.n^2+5n^2+3⋮8\)

Vì \(8.251.n^2⋮8\) nên  \(5n^2+3⋮8\Leftrightarrow5n^2+3-8⋮8\Leftrightarrow5\left(n^2-1\right)⋮8\)

Vì 5 và 8 là 2 số nguyên tố cùng nhau nên \(n^2-1⋮8\Leftrightarrow\left(n-1\right)\left(n+1\right)⋮8\)

Vì các số nguyên tố lớn hơn 2 đều lẻ nên sẽ có dạng (4k+1) hoặc (4k+3), k là số tự nhiên

\(\Rightarrow\left(n-1\right)\left(n+1\right)=\orbr{\begin{cases}\left[\left(4k+1\right)-1\right]\left[\left(4k+1\right)+1\right]=4k\left(4k+2\right)⋮8\\\left[\left(4k+3\right)-1\right]\left[\left(4k+3\right)+1\right]=\left(4k+2\right)\left(4k+4\right)⋮8\end{cases}}\)

(Vì (4k+2) là số chẵn và (4k), (4k+4) đều chia hết cho 4 nên tích của chúng chia hết cho 8)                     ---->đpcm

Do p là số nguyên tố nên p là số tự nhiên.

Xét p = 3k + 1=> p² + 8 = ( 3k + 1 )² + 8 = 9k² + 6k + 9 \(⋮\) 3 ( là hợp số )

Xét p = 3k + 2 => p² + 8 = ( 3k + 2 )² + 8 = 9k² + 12k + 12 \(⋮\) 3 ( là hợp số )

Xét p = 3k => k = 1 do p là số nguyên tố => p² + 8 = 9 + 8 = 17 ( thỏa mãn )

Ta có : p² + 2 = 11. Mà 11 là số nguyên tố => Điều cần chứng minh

Bài này cũng giống như bài tìm p nguyên tố sao cho p²+8 là số nguyên tố thôi

Cách làm cũng giống luôn

Xét p=2

... loại

Xétp=3

... thỏa mãn

Xét p> 3 thì dùng đồng dư

Ta có: \(p\equiv\pm1\left(mod3\right)\)

\(\Rightarrow p^2\equiv1\left(mod3\right)\)

\(\Rightarrow p^2+8\equiv9\left(mod3\right)\)

\(\Rightarrow p^2+8⋮3\)

Mà \(p^2+8>3\)

Nên là hợp số ( loại)