ĐKXĐ: ...

\(y\left(y^2-5y+4\right)+y^2=\left(y^2-5y+4\right)\sqrt{x+1}+x+1\)

\(\Leftrightarrow\left(y^2-5y+4\right)\left(y-\sqrt{x+1}\right)+\left(y+\sqrt{x+1}\right)\left(y-\sqrt{x+1}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(y-\sqrt{x+1}\right)\left[\left(y-2\right)^2+\sqrt{x+1}\right]=0\)

\(\Leftrightarrow y=\sqrt{x+1}\Rightarrow y^2=x+1\)

Thế xuống pt dưới:

\(2\sqrt{x^2-3x+3}+6x-7=\left(x+1\right)\left(x-1\right)^2+x\sqrt{3x-2}\)

\(\Leftrightarrow2\left(\sqrt{x^2-3x+3}-1\right)+x\left(x-\sqrt{3x-2}\right)=x^3-7x+6\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{2\left(x^2-3x+2\right)}{\sqrt{x^2-3x+3}+1}+\dfrac{x\left(x^2-3x+2\right)}{x+\sqrt{3x-2}}=\left(x+3\right)\left(x^2-3x+2\right)\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x^2-3x+2=0\\\dfrac{2}{\sqrt{x^2-3x+3}+1}+\dfrac{x}{x+\sqrt{3x-2}}=x+3\left(1\right)\end{matrix}\right.\)

Xét (1) với \(x\ge\dfrac{3}{2}\):

\(\dfrac{2}{\sqrt{x^2-3x+3}+1}\le8-4\sqrt{3}< 1\)

\(\sqrt{3x-2}\ge0\Rightarrow\dfrac{x}{x+\sqrt{3x-2}}\le1\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{2}{\sqrt{x^2-3x+3}+1}+\dfrac{x}{x+\sqrt{3x-2}}< 2\\x+3>2\end{matrix}\right.\) 

\(\Rightarrow\left(1\right)\) vô nghiệm

Lời giải:
Từ PT(1) $\Rightarrow y=\frac{3x+1}{4}$. Thay vô PT(2) thì:
$\frac{x(3x+1)}{4}=3(x+\frac{3x+1}{4})-9$

$\Leftrightarrow 3x^2-20x+33=0$

$\Leftrightarrow (3x-11)(x-3)=0$

$\Rightarrow x=\frac{11}{3}$ hoặc $x=3$

Nếu $x=\frac{11}{3}$ thì $y=\frac{3x+1}{4}=3$. HPT có nghiệm $(x,y)=(\frac{11}{3}, 3)$

Nếu $x=3$ thì $y=\frac{3x+1}{4}=\frac{5}{2}$. HPT có nghiệm $(x,y)=(3,\frac{5}{2})$

Vì 3x − 4y + 1 = 0 => 3x - 4y = -1(1)

Vì 3(x+y) − 9 = xy => 3x + 3y - 9 = xy

=> 3x - 4y + 7y - 9 = xy

Từ (1), ta có -1 + 7y - 9 = xy <=> 7y - 10 = xy

<=> y(7-x) = 10 <=> y = 10/7-x

Thay vào, ta có 3x − 4.10/7-x + 1 = 0

<=> 3x - 40/7-x + 1 = 0

<=> 3x.(7-x)-40/7-x + 1 = 0

<=> 21x - 3x^2 - 40/7-x + 1 = 0

<=> 21x - 3x^2 - 40/7-x = -1

<=> 21x - 3x^2 - 40 = x-7

<=> 3x^2 - 21x +40 = 7-x

<=> 3x^2 - 20x + 33 = 0

<=> (3x-11)(x-3) = 0

<=> x = 11/3 hoặc x = 3

<=> y = 3 hoặc y = 5/2

Đặt \(\begin{cases} a=\dfrac{x^2+1}{y}\\ b=x+y \end{cases}\) thì hệ trở thành \(\begin{cases} a^2+b^2=10\\ a+b=4 \end{cases}\)

\(3x=4y+2\Rightarrow x=\frac{4y+2}{3}\)

Thay vào pt trên:

\(\left(\frac{4y+2}{3}\right)^2+y^2+4\left(\frac{4y+2}{3}\right)+4y-1=0\)

\(\Leftrightarrow16y^2+16y+4+9y^2+48y+24+36y-9=0\)

\(\Leftrightarrow25y^2+100y+19=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}y=-\frac{1}{5}\Rightarrow x=\frac{2}{5}\\y=-\frac{19}{5}\Rightarrow x=-\frac{22}{5}\end{matrix}\right.\)

\(\begin{cases}xy\left(x+1\right)=x^3+y^2+x-y\left(1\right)\\3y\left(2+\sqrt{9x^2+3}\right)+\left(4y+2\right)\left(\sqrt{1+x+x^2}+1\right)=0\left(2\right)\end{cases}\)

Điều kiện xác định : mọi \(x\in Z\)

Ta có : \(xy\left(x+1\right)=x^3+y^2+x-y\Leftrightarrow x^3-x^2y+y^2-xy+x-y=0\)

                                                       \(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x^2-y-1\right)=0\Leftrightarrow\begin{cases}y=x\\y=x^2+1\end{cases}\)

Với \(y=x^2+1\) thay vào phương trình (2) ta được :

\(3\left(x^2+1\right)\left(2+\sqrt{9x^2+3}\right)+\left(4x^2+6\right)\left(\sqrt{1+x+x^2}+1\right)=0\)

Giải ra ta có phương trình vô  nghiệm

Với y=x, thay vào phương trình thứ 2, ta được :

\(3x\left(2+\sqrt{9x^2+3}\right)+\left(4x+2\right)\left(\sqrt{1+x+x^2}+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow3x\left(2+\sqrt{9x^2+3}\right)=-\left(2x+1\right)\left(\sqrt{3+\left(2x+1\right)^2}+2\right)\)

\(\Leftrightarrow3x\left(2+\sqrt{9x^2+3}\right)=\left(-2x-1\right)\left(\sqrt{3+\left(-2x-1\right)^2}+2\right)\)

Xét hàm số \(f\left(t\right)=t\left(\sqrt{t^2+2}+2\right)\)

Ta có : \(f'\left(t\right)=\sqrt{t^2+2}+2+\frac{t^2}{\sqrt{t^2+2}}>0\) suy ra hàm số đồng biến

Từ đó suy ra \(3x=-2x\Leftrightarrow x=-\frac{1}{5}\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm \(\left(x,y\right)=\left(-\frac{1}{5};-\frac{1}{5}\right)\)

Gõ đề có sai không ạ?

\(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{3+2x^2y-x^4y^2}+x^4\left(1-2x^2\right)=y^4\\1+\sqrt{1+\left(x-y\right)^2}=x^3\left(x^3-x+2y^2\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{4-\left(1-x^2y\right)^2}=2x^6-x^4+y^4\\-\sqrt{1+\left(x-y\right)^2}=1-x^6+x^4-2x^3y^2\end{matrix}\right.\)

Cộng theo vế HPT²

\(\sqrt{4-\left(1-x^2y\right)^2}-\sqrt{1+\left(x-y\right)^2}=\left(x^3-y^2\right)^2+1\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{4-\left(1-x^2y\right)^2}=\sqrt{1+\left(x-y\right)^2}+\left(x^3-y^2\right)^2+1\) (1)

Có:

\(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{4-\left(1-x^2y\right)^2}\le2\\\sqrt{1+\left(x-y\right)^2}+\left(x^2-y^2\right)^2+1\ge2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\) (1) xảy ra \(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{4-\left(1-x^2y\right)^2}=2\\\sqrt{1+\left(x-y\right)^2}=1\\\left(x^3-y^2\right)^2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=y=1\)