ĐKXĐ: mọi \(x\)

Ta có \(x^2+4x+7=\left(x+4\right)\sqrt{x^2+7}\)

\(\Leftrightarrow\left(x+4\right)\sqrt{x^2+7}-x^2-4x-7=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+4\right)\left(\sqrt{x^2+7}-4\right)-x^2-4x+4x-7+16=0\) ( thêm bớt )

\(\Leftrightarrow\left(x+4\right)\left(\sqrt{x^2+7}-4\right)-\left(x^2-9\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+4\right)\dfrac{x^2-9}{\sqrt{x^2+7}+4}-\left(x^2-9\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-9\right)\left(\dfrac{x+4}{\sqrt{x^2+7}+4}-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x^2-9=0\\\dfrac{x+4}{\sqrt{x^2+7}+4}-1=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\pm3\\\dfrac{x+4}{\sqrt{x^2+7}+4}=1\left(\text{*}\right)\end{matrix}\right.\)

Giải (*), ta được phương trình

\(\left(\text{*}\right)\Leftrightarrow x+4=\sqrt{x^2+7}+4\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x^2+7}=x\)

\(\Leftrightarrow x^2+7=x^2\)

\(\Leftrightarrow7=0\) ( vô lý )

Suy ra phương trình (*) vô nghiệm 

Vậy \(S=\left\{\pm3\right\}\)

Giải bằng bất đẳng thức Cô si: (ĐK: \(x^2-x+1\ge0;-2x^2+x+2\ge0;x^2-4x+7\)
Ta có: \(x^2-x+1+1\ge2\sqrt{x^2-x+1}\Leftrightarrow\sqrt{x^2-x+1}\le\dfrac{x^2-x+2}{2}\left(1\right)\\ T,T:\sqrt{-2x^2+x+2}\le\dfrac{-2x^2+x+3}{2}\left(2\right)\\ \left(1\right);\left(2\right)\Rightarrow\sqrt{x^2-x+1}+\sqrt{-2x^2+x+2}\le\dfrac{x^2-x+2-2x^2+x+3}{2}=\dfrac{-x^2+5}{2}\\ \Rightarrow\sqrt{x^2-x+1}+\sqrt{-2x^2+x+2}-\dfrac{x^2-4x+7}{2}\le\dfrac{-x^2+5-x^2+4x-7}{2}\\ =\dfrac{-2x^2+4x-2}{2}\\ =-x^2+2x-1 \\ \Rightarrow-\left(x-1\right)^2\ge0\)
Điều này chỉ thỏa 1 điều kiên khi x-1=0 ⇔x=1(nhận
Vậy x=1 là nghiệm cuả phương trình

Đặt \(\sqrt{x^2+7}=a\left(a>0\right)\)

Khi đó phương trình trở thành :

\(a^2+4x=\left(x+4\right)a\Leftrightarrow a^2-ax+4x-4a=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-ax\right)+\left(4x-4a\right)=0\Leftrightarrow a\left(a-x\right)+4\left(x-a\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-x\right)\left(a-4\right)=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a-x=0\\a-4=0\end{cases}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a=x\\a=4\end{cases}}}\)

+) \(a=x\Rightarrow\sqrt{x^2+7}=x\)( điều kiện bổ sung \(x\ge0\))

\(\Leftrightarrow x^2+7=x^2\Leftrightarrow7=0\)( vô lý ) => loại

+) \(a=4\)( thỏa mãn điều kiện a > 0 )  \(\Rightarrow\sqrt{x^2+7}=4\Leftrightarrow x^2+7=16\)

\(\Leftrightarrow x^2=9\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=3\\x=-3\end{cases}}\)

Vậy phương trình có tập nghiệm S = { 3 ; -3 }

Tích cho mk nhoa !!!! ~~

P/S: Không cần đặt ẩn phụ cho phí t/g!

\(ĐK:x\inℝ\)

\(x^2+4x+7=\left(x+4\right)\sqrt{x^2+7}\)

\(\Leftrightarrow x\sqrt{x^2+7}+4\sqrt{x^2+7}=x^2+4x+7\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+7-x\sqrt{x^2+7}\right)-\left(4\sqrt{x^2+7}-4x\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x^2+7}-x\right)\left(\sqrt{x^2+7}-4\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}\sqrt{x^2+7}=x\left(1\right)\\\sqrt{x^2+7}=4\left(2\right)\end{cases}}\)

Giải (1) ta thấy vô nghiệm

\(\left(2\right)\Leftrightarrow x^2+7=16\Leftrightarrow x^2=9\Leftrightarrow x=\pm3\)

Vậy phương trình có tập nghiệm S = {3;-3}

2:

\(A=\dfrac{x_2-1+x_1-1}{x_1x_2-\left(x_1+x_2\right)+1}\)

\(=\dfrac{3-2}{-7-3+1}=\dfrac{1}{-9}=\dfrac{-1}{9}\)

B=(x1+x2)^2-2x1x2

=3^2-2*(-7)

=9+14=23

C=căn (x1+x2)^2-4x1x2

=căn 3^2-4*(-7)=căn 9+28=căn 27

D=(x1^2+x2^2)^2-2(x1x2)^2

=23^2-2*(-7)^2

=23^2-2*49=431

D=9x1x2+3(x1^2+x2^2)+x1x2

=10x1x2+3*23

=69+10*(-7)=-1

d. \(\sqrt{9x^2+12x+4}=4\)

<=> \(\sqrt{\left(3x+2\right)^2}=4\)

<=> \(|3x+2|=4\)

<=> \(\left[{}\begin{matrix}3x+2=4\\3x+2=-4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}3x=2\\3x=-6\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{2}{3}\\x=-2\end{matrix}\right.\)

c: Ta có: \(\dfrac{5\sqrt{x}-2}{8\sqrt{x}+2.5}=\dfrac{2}{7}\)

\(\Leftrightarrow35\sqrt{x}-14=16\sqrt{x}+5\)

\(\Leftrightarrow x=1\)

x² + 7 > 0 với mọi x => căn thức \(\sqrt{x^2+7}\) luôn xác định

PT <=> (x² + 7) + 4x = x. \(\sqrt{x^2+7}\) + 4. \(\sqrt{x^2+7}\)

<=> [(x² + 7) -  x. \(\sqrt{x^2+7}\)] + [4x -  4. \(\sqrt{x^2+7}\)]  = 0

<=> \(\sqrt{x^2+7}\). [\(\sqrt{x^2+7}\) - x] + 4. [ x - \(\sqrt{x^2+7}\)] = 0 

<=> [ x - \(\sqrt{x^2+7}\)] . [4 -  \(\sqrt{x^2+7}\)]  = 0 

<=>  x - \(\sqrt{x^2+7}\) = 0  hoặc 4 -  \(\sqrt{x^2+7}\) = 0 

+) 4 -  \(\sqrt{x^2+7}\) = 0 <=> x² + 7 = 16 <=> x² = 9 <=> x = 3 hoặc x = -3

+) x - \(\sqrt{x^2+7}\) = 0 : Vô nghiệm vì \(\sqrt{x^2+7}\) >  \(\sqrt{x^2}\) = |x| >= x => x - \(\sqrt{x^2+7}\) < 0 với mọi x

Vậy PT có 2 nghiệm x =3  hoặc x = -3

 x^2+4x+7 =(x+4).√(x^2+7) 
<=> (x^2 + 4x + 7)/(x + 4) = √(x^2 + 7) (1) 
Điều kiện: x + 4 # 0<=> x # - 4 

(1)<=> (x^2 + 4x + 7)^2/(x + 4)^2 = x^2 + 7 
<=> (x^4 + 16x^2 + 49 + 8x^3 + 56x + 14x^2)/(x^2 + 8x + 16) = x^2 + 7 
=> x^4 + 16x^2 + 49 + 8x^3 + 56x + 14x^2 = (x^2 + 7)(x^2 + 8x + 16) 
<=>x^4 + 16x^2 + 49 + 8x^3 + 56x + 14x^2 = x^4 + 8x^3 + 16x^2 + 7x^2 + 56x + 112 
<=> 7x^2 = 63 
<=> x^2 = 9 
<=> x = 3 (thoả mãn) 
hoặc x = -3 (thỏa mãn) 

Vậy Pt có nghiệm x = 3 hoặc x = -3

a, Ta có : \(\left\{{}\begin{matrix}x^2+y^2=1\\x^2-y^2-x+y=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2+y^2=1\\\left(x-y\right)\left(x+y\right)-\left(x-y\right)=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2+y^2=1\\\left(x-y\right)\left(x+y-1\right)=0\end{matrix}\right.\)

TH1 : \(x-y=0\Rightarrow x=y\)

- Thay vào PT ( I ) ta được : \(x^2+x^2=2x^2=1\)

\(\Rightarrow x=y=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)

TH2 : \(x+y-1=0\)

- Kết hợp PT ( I ) ta được hệ : \(\left\{{}\begin{matrix}x+y=1\\\left(x+y\right)^2-2xy=1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=1\\-2xy=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=1\\xy=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x=0\\y=1\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

Vậy hệ phương trình có tập nghiệm là \(S=\left\{\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2};\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right);\left(1;0\right);\left(0;1\right)\right\}\)

b.

Đặt \(\sqrt{x^2+7}=t>0\)

\(\Rightarrow t^2-\left(x+4\right)t+4x=0\)

\(\Delta=\left(x+4\right)^2-16x=\left(x-4\right)^2\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}t=\dfrac{x+4+x-4}{2}=x\\t=\dfrac{x+4-x+4}{2}=4\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt{x^2+7}=x\left(x\ge0\right)\\\sqrt{x^2+7}=4\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x^2+7=x^2\left(vô-nghiệm\right)\\x^2+7=16\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow x=\pm3\)

Đặt : P=\(\sqrt{x^2+7}\Rightarrow x^2+7=P^2\)

Pt trở thành :

P² + 4x =(x+4)P

\(\Leftrightarrow\) P² +4x - Px - 4P =0

\(\Leftrightarrow\) P(P-x) -4(P-x) =0

\(\Leftrightarrow\) (P-x)(P-4)=0

Sau đó cho từng cái bằng 0 rồi thế P vào để tìm x

S= { -3; 3 }

Đặt \(x^2+7=a\left(a>0\right),x+4=b\)
Pt đã cho tđ \(a^2+4b-16=ab\)