5:

a: Xét ΔABC vuông tại A có

\(sinC=\dfrac{3}{5}\)

=>\(\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{3}{5}\)

=>\(\dfrac{3}{BC}=\dfrac{3}{5}\)

=>BC=5(cm)

ΔABC vuông tại A

=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)

=>\(AC^2=5^2-3^2=16\)

=>AC=4(cm)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(\left\{{}\begin{matrix}AH\cdot BC=AB\cdot AC\\CH\cdot CB=CA^2\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}AH=\dfrac{3\cdot4}{5}=2,4\left(cm\right)\\CH=\dfrac{4^2}{5}=3,2\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

Xét ΔABC vuông tại A có \(tanB=\dfrac{AC}{AB}\)

=>\(tanB=\dfrac{4}{3}\)

Xét ΔABC vuông tại A có \(sinC=\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{3}{5}\)

nên \(\widehat{C}\simeq37^0\)

b: Xét ΔABF vuông tại A có AE là đường cao

nên \(BE\cdot BF=AB^2\left(1\right)\)

Xét ΔBAC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(BH\cdot BC=BA^2\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(BE\cdot BF=BH\cdot BC\)

XétΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(CH\cdot CB=CA^2\)

\(\dfrac{AB^2}{AC^2}=\dfrac{BH\cdot BC}{CH\cdot CB}=\dfrac{BH}{CH}\)

c: ΔABC vuông tại A

mà AM là đường trung tuyến

nên MA=MB

=>\(\widehat{MAB}=\widehat{MBA}\)

Xét ΔEAB vuông tại E và ΔHBA vuông tại H có

AB chung

\(\widehat{EAB}=\widehat{HBA}\)

Do đó: ΔEAB=ΔHBA

=>\(\widehat{DAB}=\widehat{DBA}\)

=>DA=DB

\(\widehat{DAB}+\widehat{DAF}=90^0\)

\(\widehat{DBA}+\widehat{DFA}=90^0\)

mà \(\widehat{DAB}=\widehat{DBA}\)

nên \(\widehat{DAF}=\widehat{DFA}\)

=>DA=DF

=>DF=DB

=>D là trung điểm của FB

Kẻ AH⊥BC

ta có: \(VP=AB^2+BC^2-2.AB.BC.cosB=AB^2+BC^2-2.AB.BC.\dfrac{BH}{AB}=AB^2+BC^2-2.BH.BC=AB^2-BH^2+BC^2-2.BH.BC+BH^2=AH^2+\left(BC-BH\right)^2=AH^2+CH^2=AC^2=VT\)

Bài 3:

Ta có: \(A=\dfrac{\sqrt{x}-5}{\sqrt{x}+2}=\dfrac{\sqrt{x}+2-7}{\sqrt{x}+2}=1-\dfrac{7}{\sqrt{x}+2}\)

A nguyên khi \(\dfrac{7}{\sqrt{x}+2}\) nguyên:

\(\Rightarrow7\) ⋮ \(\sqrt{x}+2\)  

\(\Rightarrow\sqrt{x}+2\inƯ\left(7\right)=\left\{1;-1;7;-7\right\}\)

Mà: \(\sqrt{x}+2\ge2\)

\(\Rightarrow\sqrt{x}+2\in\left\{7\right\}\)

\(\Rightarrow x\in\left\{25\right\}\)

Bài 2:

ĐKXĐ: \(\left\{{}\begin{matrix}x>=0\\x< >9\end{matrix}\right.\)

Để A là số nguyên thì \(\sqrt{x}+1⋮\sqrt{x}-3\)

=>\(\sqrt{x}-3+4⋮\sqrt{x}-3\)

=>\(4⋮\sqrt{x}-3\)

=>\(\sqrt{x}-3\in\left\{1;-1;2;-2;4;-4\right\}\)

=>\(\sqrt{x}\in\left\{4;2;5;1;7;-1\right\}\)

=>\(\sqrt{x}\in\left\{1;2;4;5;7\right\}\)

=>\(x\in\left\{1;4;16;25;49\right\}\)