SORY I'M I GRADE 6

????????

   Gọi số đó là a, Thương của số đó chia cho 3 là q ta có:

a = q*3+1

=> a³= ( 3q+1)³ = 27q³+27q² +9q+1 = 3*( 9q³ + 9q²+3q)+1 ( có dạng như q*3+1 đấy a) 

=> vậy lập phương của số đó cũng chia 3 dư một

1 . Gọi số đó là a ( a là số tự nhiên )

Theo bài ra ta có :

a = 3k + 1 .

=> a² = ( 3k + 1 )² 

=> a² = ( 3k + 1 ) . ( 3k + 1 )

=> a² = 9k² + 3k + 3k + 1 .

=> a² = 9k² + 6k + 1 .

=> a² = 3 . ( 3k² + 2k ) + 1 .

Do đó một số tự nhiên chia cho 3 dư 1 thì bình phương của nó cũng chia cho 3 dư 1 .

Vậy bài toán được chứng minh

a, Ta có : \(x^3+y^3=\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)\)

\(=\left(x+y\right)\left(\left(x+y\right)^2-2xy-xy\right)\)

\(=1\left(1^2-3\left(-1\right)\right)=1\left(1^2+3\right)=4\)

b, Ta có : \(x^3-y^3=\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)\)

\(=\left(x-y\right)\left(\left(x-y\right)^2+3xy\right)\)

\(=1\left(1+3.9\right)=19\)

để cm thì ta cần cm nó đúng khi x+y=1 

x+y=1

y=-(x-1) và x=-(y-1)

thế vào ta được 

-(x-1)/(x^3-1)--(y-1)/(y^3-1)=2(x-y)/(x^2y^2+3)

ta có x^3-1=(x-1)(x^2+x+1),y^3-1=(y-1)(y^2+y+1)

từ đó rút gọn ta được -1/(x^2+x+1)+1/(y^2+y+1)=2(x-y)/(x^2y^2+3)

1/(y^2+y+1)-1/(x^2+x+1)=2(x-y)/(x^2y^2+3)

(x^2+x+1-y^2-y-1)/(y^2+y+1)(x^2+x+1)=2(x-y)/(x^2y^2+3)

ta có x^2+x+1-y^2-y-1=x^2-y^2+x-y=(x-y)(x+y)+x-y=(x-y)(x+y+1)=2(x-y)

từ đó suy ra 2(x-y)/(y^2+y+1)(x^2+x+1)=2(x-y)/(x^2y^2+3)

suy ra (y^2+y+1)(x^2+x+1)=x^2+y^2+3

x^2y^2+xy^2+y^2+x^2y+xy+y+x^2+x+1=x^2y^2+3

x^2y^2+(xy^2+y^2+x^2y+xy+x^2)+x+y+1=x^2y^2+3

x^2y^2+(xy^2+y^2+x^2y+xy+x^2)+2=x^2y^2+3 

ta có xy^2+y^2+x^2y+xy+x^2

=xy(x+y)+xy+y^2+x^2

=x^2+2xy+y^2

=(x+y)^2

=1^2

=1 

thế vào ta được 

x^2y^2+3=x^2y^2+3

vậy pt trên đúng khi x+y=1

Tk mình đi mọi người mình bị âm nè!

Ai tk mình mình tk lại cho!!

áp dụng : nếu x+y+z=0 thì x³+y³+z³=3xyz (có thể tự c/m)

trong bài thì x+y+z+3=0  hay (x+1)+(y+1)+(z+1)=0 

Sửa đề: x² + y² + 2 = xy + x + y thì x = y = 1

Bài làm

ta có: x² + y² + 2 = xy + x + y

=> 2x² + 2y² + 2 = 2xy + 2x + 2y

=> 2x² + 2y² + 2 - 2xy - 2x - 2y = 0

(x² -2xy+y²) + (x² -2x + 1) + (y² -2y+1) = 0

(x-y)² + (x-1)² + (y-1)² = 0

=> x - 1 = 0 => x = 1

y-1 = 0 => y = 1

=> x=y=1 

xl nhưng mk nghĩ bn sai đề! nếu như đề ko sai thì cho mk xl, mk ko bk lm đề bn ra

đề bài => (x-y)^2+xy-x-y+1=0   

=> ((x-1)-(y-1))^2+ (x-1)(y-1)=0 

=> (x-1)^2 - (x-1)(y-1) + 1/4(y-1)^2 +3/4(y-1)^2=0   

=> ((x-1)-1/2(y-1))^2+3/4(y-1)^2=0 

VT luôn lớn hơn hoặc =0 dấu bằng xảy ra khi x=y=1

Ta có :

 \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\Leftrightarrow xy+yz+zx=0\)

Khi đó ta chứng minh được :

\(x^3y^3+y^3z^3+z^3x^3=3x^2y^2z^2\)

Mà \(x+y+z=0\)

\(\Rightarrow\)\(x^3+y^3+z^3=3xyz\)

Từ đó ta suy ra :

\(\frac{x^6+y^6+z^6}{x^3+y^3+z^3}=\frac{\left(x^3+y^3+z^3\right)^2-2\left(x^3y^3+y^3z^3+z^3x^3\right)}{x^3+y^3+z^3}\)

\(=\frac{\left(3xyz\right)^2-2.3.x^2y^2z^2}{3xyz}\)

\(=\frac{9x^2y^2z^2-6x^2y^2z^2}{3xyz}\)

\(=xyz\)( ĐPCM )

Hên xui thôi

\(a,\left(x+y+z\right)^3-x^3-y^3-z^3\\ =\left[\left(x+y\right)+z\right]^3-x^3-y^3-z^3\\ =\left(x+y\right)^3+z^3+3z\left(x+y\right)\left(x+y+z\right)-x^3-y^3-z^3\\ =x^3+y^3+z^3+3xy\left(x+y\right)+3z\left(x+y\right)\left(x+y+z\right)-x^3-y^3-z^3\\ =\left(x+y\right)\left(3xy+3xz+3yz+3z^2\right)\\ =3\left(x+y\right)\left[x\left(y+z\right)+z\left(y+z\right)\right]\\ =3\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)\)

\(b,x^3+y^3+z^3-3xyz\\ =\left(x+y\right)^3-3xy\left(x+y\right)+z^3-3xyz\\ =\left(x+y+z\right)\left(x^2+2xy+y^2-xz-yz+z^2\right)-3xy\left(x+y+z\right)\\ =\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xz-yz+2xy-3xy\right)\\ =0\left(x^2+y^2+z^2-xz-yz-xy\right)=0\\ \Leftrightarrow x^3+y^3+z^3=3xyz\)

b) Áp dụng bđt bunhiacopski, ta có:

(xy + xz + yz)² \(\le\)(x² + y² + z²)(x² + y² + z²)

hay : (x² + y² + z²) \(\ge\)4² = 16

Áp dụng bđt svacxo: \(\frac{x_1^2}{y_1}+\frac{x_2^2}{y_2}+\frac{x_3^2}{y_3}\ge\frac{\left(x_1+x_2+x_3\right)^2}{y_1+y_2+y_3}\)

CMBĐT đúng: tự cm (áp dụng bđt bunhiacopsky để cm)

Khi đó: \(x^4+y^4+z^4\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{3}=\frac{16}{3}\)

b, Theo bất đẳng thức Svacxo và bất đẳng thức \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\)ta có :

\(VT\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{3}\ge\frac{\left(xy+yz+zx\right)^2}{3}=VP\left(đpcm\right)\)