Mỗi điểm trên mặt phẳng được tô màu đen hoặc đỏ . chứng minh rằng có thẻ tìm được 3 điểm cùng màu mà mỗi cặp điểm có khoảng cách =1 hoặc có khoẳng cách = \(\sqrt{\text{ 5}}\)

Cho 7 điểm phân biệt nằm trên cùng một đường tròn (O). Mỗi đường thẳng nối 2 trong 7 điểm được tô bằng một trong hai màu xanh hoặc đỏ. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất 3 tam giác nội tiếp đường tròn (O) mà mỗi tam giác có 3 cạnh cùng màu.

Mỗi điểm trên đường tròn được tô bằng 1 trong 2 màu : xanh hoặc đỏ. Chứng minh rằng tồn tại 1 tam giác cân nội tiếp đường tròn đó và có 3 đỉnh cùng màu.

Mỗi điểm trên mặt phẳng được tô bởi hai màu xanh và đỏ. CMR tồn tại hai điểm cùng màu cánh nhau đúng một đơn vị

trên mặt phảng cho 2n điểm  trong đó có n điểm tô màu xanh,n điểm tô màu đỏ.Chứng minh rằng có thể kẻ được n đoạn thẳng,mỗi đoạn thẳng có 2 đầu mút được tô màu khác nhau và 2 đoạn thẳng bất kì không có điểm chung

Cho 2002 quả bóng gồm 6 màu ( xanh, đỏ , tím, vàng, trắng , đen) được đánh số thứ tự từ 1 đến 2002. Biết rằng mỗi quả bóng chỉ có một màu. C/m rằng có ít nhất một quả bóng có số thứ tự bằng tổng số thứ tự của 2 quả bóng cùng màu hoặc bằng 2 lần số thứ tự của 1 quả bóng cùng màu.

Trên mặt phẳng cho 99 điểm phân biệt sao cho từ 3 điểm bất kì trong số chúng đều tìm được 2 điểm có khoảng cách nhỏ hơn 1. Chứng minh rằng tồn tại một hình tròn có bán kính bằng 1 chứa không ít hơn 50 điểm trong 99 điểm đó

Mỗi số nguyên dương lớn hơn 1000 được tô bởi một trong hai màu: xanh hoặc đỏ sao cho tích của hai số màu đỏ là một số màu xanh. Chứng minh rằng tồn tại hai số màu xanh là hai số nguyên dương liên tiếp nhau.