Câu hỏi của Nguyễn Việt Bách

Question

tìm các số m nguyên thoả mãn

(m+1)(m2 +2m) là số chính phương

Nguyễn Đức Trí · Accepted Answer

$k^2=\left(m+1\right)\left(m^2+2m\right)$ là số chính phương

$\Rightarrow k^2=m\left(m+1\right)\left(m+2\right)\ge0$

Lập bảng xét dấu

$m$
			            $-2$             $-1$              $0$

$m$
			       $-$     $|$       $-$       $|$     $-$      $0$       $+$

$m+1$
			       $-$     $|$       $-$       $0$     $+$      $|$       $+$

$m+2$
			       $-$     $0$       $+$       $|$     $+$      $|$       $+$

$m\left(m+1\right)\left(m+2\right)$
			       $-$     $0$       $+$       $0$     $-$     $0$       $+$

$\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}-2\le m\le0\m>0\end{matrix}\right.$

$TH1:$ $-2\le m\le0\Rightarrow m\in\left\{-2;-1;0\right\}$ thỏa mãn $k^2=0\ge0$

$TH2:$ $m>0$

$k^2=\left(m+1\right)\left(m^2+2m\right)$

$d=UC\left(m+1;m^2+2m\right)$

$\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m+1⋮d\m^2+2m⋮d\end{matrix}\right.$

$\Rightarrow m^2+2m-2\left(m+1\right)⋮d$

$\Rightarrow m^2+2m-2m-1⋮d$

$\Rightarrow-1⋮d$

$\Rightarrow d\in\left\{-1;1\right\}$

$\Rightarrow\left(m+1\right)\left(m^2+2m\right)$ là số chính phương khi chúng là số chính phương.

Ta lại có :

$\left(m+1\right)\left(m^2+2m\right)=m\left(m+1\right)\left(m+2\right)$ là tích của 3 số liên tiếp nhau không phải là số chính phương khi m>0

Vậy $m\in\left\{-2;-1;0\right\}$ thỏa mãn đề bàiCâu trả lời: $k^2=\left(m+1\right)\left(m^2+2m\right)$ là số chính phương