Lời giải:
$\frac{2}{x}+\frac{y}{3}=\frac{1}{6}$

$\frac{6+xy}{3x}=\frac{1}{6}$

$\frac{2(6+xy)}{6x}=\frac{x}{6x}$

$\Rightarrow 2(6+xy)=x$

$\Rightarrow 12+2xy-x=0$

$12=x-2xy$

$12=x(1-2y)$

$\Rightarrow 1-2y$ là ước của $12$

Mà $1-2y$ lẻ nên $1-2y$ là ước lẻ của $12$

$\Rightarrow 1-2y\in\left\{\pm 1; \pm 3\right\}$

$\Rightarrow y\in\left\{0; 1; 2; -1\right\}$

$\Rightarrow x\in\left\{12; -12; -4; 4\right\}$ (tương ứng)

1/2 - 1/y = x/3

3y - 6 = 2xy

3y - 2xy = 6

y(3 - 2x) = 6

Do x là số nguyên nên 2x là số chẵn

3 - 2x là số lẻ

* TH1: 3 - 2x = -3 và y = -2

+) 3 - 2x = -3

2x = 3 + 3

2x = 6

x = 6 : 2

x = 3

* TH2: 3 - 2x = -1 và y = -6

+) 3 - 2x = -1

2x = 3 + 1

2x = 4

x = 4 : 2

x = 2

* TH3: 3 - 2x = 1 và y = 6

+) 3 - 2x = 1

2x = 3 - 1

2x = 2

x = 2 : 2

x = 1

* TH4: 3 - 2x = 3 và y = 2

+) 3 - 2x = 3

2x = 3 - 3

2x = 0

x = 0

Vậy ta tìm được các cặp giá trị (x; y) thỏa mãn:

(3; -2); (2; -6); (1; 6); (0; 2)

\(\dfrac{1}{2}\) - \(\dfrac{1}{y}\) = \(\dfrac{x}{3}\) (đk y ≠ 0)

\(\dfrac{x}{3}\) + \(\dfrac{1}{y}\) - \(\dfrac{1}{2}\) = 0

\(\dfrac{2xy+6-3y}{6y}\) = 0

2\(xy\) + 6  - 3y = 0

6 - y.(3 - 2\(x\)) = 0

     y.(3 - 2\(x\)) = 6

    Ư(6) = {-6; -3; -2; -1; 1; 2; 3; 6}

lập bảng ta có:

Vì \(x;y\) nguyên theo bảng trên ta có:

Các cặp \(x;y\) nguyên thỏa mãn đề bài là: 

(\(x;y\)) = (2; -6); (3; -2); (0;2); (1;6)

\(\dfrac{x}{3}-\dfrac{2}{y}=\dfrac{1}{2}\\ \Rightarrow\dfrac{2}{y}=\dfrac{x}{3}-\dfrac{1}{2}\\\Rightarrow \dfrac{2}{y}=\dfrac{2x-3}{6}\\ \Rightarrow y\left(2x-3\right)=2\cdot6\\ \Rightarrow y\left(2x-3\right)=12\)

mà `y in ZZ;x in ZZ`

`=>y in ZZ;2x-3 in ZZ`

`=>y;2x-3` thuộc ước nguyên của `12`

`=>y;2x-3 in {+-1;+-2;+-3;+-4;+-6;+-12}`

Ta có bảng sau :

Vì `x;y in ZZ`

nên `(x;y)=(1;-1);(0;-3);(2;1);(3;3)`

\(\dfrac{x}{3}\) + \(\dfrac{1}{2}\) = \(\dfrac{1}{y+3}\)  Đk (\(y\ne-3\))⇒ \(\dfrac{2x+3}{6}\) = \(\dfrac{1}{y+3}\) ⇒ (2\(x\)+3)(y+3) = 6

Ư(6) = { -6; -3; -2; -1; 1; 2; 3; 6}

Lập bảng ta có:

Từ bảng trên ta có các cặp \(x\), y nguyên thỏa mãn đề bài là:

(\(x\), y) = ( -3; -5); ( -2; -9); ( -1; 3); (0; -1); 

(2,1),(1,5),

\(\dfrac{x-1}{9}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{y+2}\)

\(\dfrac{x-1}{9}+\dfrac{3}{9}=\dfrac{1}{y+2}\)

\(\dfrac{x-1+3}{9}=\dfrac{1}{y+2}\)

\(\dfrac{x-\left(1-3\right)}{9}=\dfrac{1}{y+2}\)

\(\dfrac{x-\left(-2\right)}{9}=\dfrac{1}{y+2}\)

\(\dfrac{x+2}{9}=\dfrac{1}{y+2}\)

\(\left(x+2\right)\left(y+2\right)=9\)

=> (X+2) ; (y+2) ϵ Ư(9)

TH1: x+2 = 1 => x = -1

y+2=9 => y = 7

TH2: x+2 = 9 => x = 7

=> y +2 = 1 => y =-1

TH3:x+2 = -9 => x = -11

y+2 = -1 => y=-3

TH4: x+2 = -1 => x =-3

y+2 = -9 => x=-11

TH5: x+2 = -3 => x =-5

y+2 = -3 => y=-5

TH6: x+2 =3 =>  x = 1

y+2=3 => y=1