Với các số thực không âm a; b ta luôn có BĐT sau:

\(\sqrt{a}+\sqrt{b}\ge\sqrt{a+b}\) (bình phương 2 vế được \(2\sqrt{ab}\ge0\) luôn đúng)

Áp dụng:

a. 

\(A\ge\sqrt{x-4+5-x}=1\)

\(\Rightarrow A_{min}=1\) khi \(\left[{}\begin{matrix}x=4\\x=5\end{matrix}\right.\)

\(A\le\sqrt{\left(1+1\right)\left(x-4+5-x\right)}=\sqrt{2}\) (Bunhiacopxki)

\(A_{max}=\sqrt{2}\) khi \(x-4=5-x\Leftrightarrow x=\dfrac{9}{2}\)

b.

\(B\ge\sqrt{3-2x+3x+4}=\sqrt{x+7}=\sqrt{\dfrac{1}{3}\left(3x+4\right)+\dfrac{17}{3}}\ge\sqrt{\dfrac{17}{3}}=\dfrac{\sqrt{51}}{3}\)

\(B_{min}=\dfrac{\sqrt{51}}{3}\) khi \(x=-\dfrac{4}{3}\)

\(B=\sqrt{3-2x}+\sqrt{\dfrac{3}{2}}.\sqrt{2x+\dfrac{8}{3}}\le\sqrt{\left(1+\dfrac{3}{2}\right)\left(3-2x+2x+\dfrac{8}{3}\right)}=\dfrac{\sqrt{510}}{6}\)

\(B_{max}=\dfrac{\sqrt{510}}{6}\) khi \(x=\dfrac{11}{30}\)

a)Ta có:A=\(\sqrt{x-4}+\sqrt{5-x}\)

        =>A²=\(x-4+2\sqrt{\left(x-4\right)\left(5-x\right)}+5-x\)

        =>A²= 1+\(2\sqrt{\left(x-4\right)\left(5-x\right)}\ge1\)

        =>A\(\ge\)1

Dấu '=' xảy ra <=> x=4 hoặc x=5

Vậy,Min A=1 <=>x=4 hoặc x=5

Còn câu b tương tự nhé

\(Q=x-2\sqrt{2x-1}=x-\frac{1}{2}-2.\sqrt{x-\frac{1}{2}}.\sqrt{2}+2-\frac{3}{2}=\left(\sqrt{x-\frac{1}{2}}-\sqrt{2}\right)^2-\frac{3}{2}\ge-\frac{3}{2}\)

... 

\(P=2x^2+\dfrac{7}{2x^2}\)

Áp dụng Bất đẳng thức Cauchy cho 2 cặp số dương \(\left(2x^2;\dfrac{7}{2x^2}\right)\)

\(P=2x^2+\dfrac{7}{2x^2}\ge2\sqrt[]{7}\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi 

\(\Leftrightarrow2x^2=\dfrac{7}{2x^2}\)

\(\Leftrightarrow4x^4=7\left(x\ne0\right)\)

\(\Leftrightarrow x^4=\dfrac{7}{4}\)

\(\Leftrightarrow x=\pm\sqrt[4]{\dfrac{7}{4}}\)

Vậy \(GTNN\left(P\right)=2\sqrt[]{7}\left(tại.x=\pm\sqrt[4]{\dfrac{7}{4}}\right)\)

\(M=\left(2x-1\right)^2-3\left|2x-1\right|+2=\left|2x-1\right|^2-3\left|2x-1\right|+2\)

Đặt: | 2x -1 | = t ( t >=0)

=> \(M=t^2-3t+2=\left(t^2-2.t.\frac{3}{2}+\frac{9}{4}\right)-\frac{9}{4}+2\)

\(=\left(t-\frac{3}{2}\right)^2-\frac{1}{4}\ge-\frac{1}{4}\)

Dấu "=" xảy ra <=> \(t=\frac{3}{2}\)( tm)

khi đó: \(\left|2x-1\right|=\frac{3}{2}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}2x-1=\frac{3}{2}\\2x-1=-\frac{3}{2}\end{cases}\Leftrightarrow}\orbr{\begin{cases}x=\frac{3}{4}\\x=-\frac{1}{4}\end{cases}}\)

Vậy min M = -1/4 <=> x =3/4 hoặc x =- 1/4

`A= x^2 +2x+2`

`=x^2 +2x+1+1`

`= (x+1)^2 +1 >= 1 AAx`

Dấu''='' xảy ra khi và chỉ khi

`x+1=0 => x=-1`

Vậy Min_A=1 khi `x=-1`

Áp dụng BĐT \(\left|a\right|+\left|b\right|\ge\left|a+b\right|\) ta có:

\(A=\left|2x-2\right|+\left|2x-2016\right|=\left|2-2x\right|+\left|2x-2016\right|\)

\(\ge\left|2-2x+2x-2016\right|=2014\)

Dấu "=" xảy ra khi \(1\le x\le1008\)

Vậy \(Min_A=2014\) khi \(1\le x\le1008\)

\(x^2-2x+5=\left(x^2-2x+1\right)+4=\left(x-1\right)^2+4\ge4\)

\(\Rightarrow P=\sqrt{x^2-2x+5}\ge\sqrt{4}=2\)

\(minP=2\Leftrightarrow x=1\)

A = x - 6√x + 2023

= x - 2.√x.3 + 9 + 2014

= (√x - 3)² + 2014

Do (√x - 3)² ≥ 0 với mọi x ∈ R

⇒ (√x - 3)² + 2014 ≥ 2014 với mọi x ∈ R

Vậy GTNN của A là 2014 khi x = 9

Bài 1: 

Ta có: \(D=\sqrt{16x^4}-2x^2+1\)

\(=4x^2-2x^2+1\)

\(=2x^2+1\)