a) \(1+\sqrt{3x+1}=3x\)

ĐKXĐ: \(3x+1\ge0\Leftrightarrow x\ge\frac{-1}{3}\)

\(\Rightarrow\sqrt{3x+1}=3x-1\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{3x+1}\right)^2=\left(3x-1\right)^2\)

\(\Leftrightarrow3x+1=9x^2-6x+1\)

\(\Leftrightarrow9x^2-9x=0\)

\(\Leftrightarrow9x\left(x-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=0\\x-1=0\end{cases}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=0\\x=1\end{cases}}}\)(tm)

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S=\left\{0;1\right\}\)

b) \(\sqrt{\frac{5x+7}{x+3}}=4\)

ĐKXĐ: \(\hept{\begin{cases}\frac{5x+7}{x+3}>0\\x+3\ne0\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x>\frac{-7}{5}\\x< -3\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\left(\sqrt{\frac{5x+7}{x+3}}\right)^2=4^2\)

\(\Leftrightarrow\frac{5x+7}{x+3}=16\)

\(\Leftrightarrow5x+7=16\left(x+3\right)\)

\(\Leftrightarrow5x+7=16x+48\)

\(\Leftrightarrow-11x=41\)

\(\Leftrightarrow x=\frac{-41}{11}\)(tm)

Vậy phương trình có 1 nghiệm duy nhất là \(x=\frac{-41}{11}\)

\(\left(\sqrt{8-\sqrt{X-3}}-\sqrt{5-\sqrt{X-3}}\right)^2=5^2\)=\(5^2\)

\(\Leftrightarrow-2\sqrt{\left(8-\sqrt{X-3}\right)\left(5-\sqrt{X-3}\right)}=25-3=22\)

\(\Leftrightarrow-\sqrt{\left(8-\sqrt{X-3}\right)\left(5-\sqrt{X-3}\right)}=11\)

Do \(\sqrt{\left(8-\sqrt{X-3}\right)\left(5-\sqrt{X-3}\right)}\ge0\Rightarrow-\sqrt{\left(8-\sqrt{X-3}\right)\left(5-\sqrt{X-3}\right)}\le0\)

\(\Rightarrow\)PT vô nghiệm

Điều kiện: $ - \frac{1}{3} \le x \le 6$
Ta nhẩm thấy x = 5 là nghiệm của PT, thêm bớt và trục căn thức ta có:
Phương trình $ \Leftrightarrow \left( {\sqrt {3x + 1} - 4} \right) - \left( {\sqrt {6 - x} - 1} \right) + \left( {3{x^2} - 14x - 5} \right) = 0$

$ \Leftrightarrow \frac{{3\left( {x - 5} \right)}}{{\sqrt {3x + 1} + 4}} + \frac{{x - 5}}{{\sqrt {6 - x} + 1}} + \left( {3x + 1} \right)\left( {x - 5} \right) = 0$

$ \Leftrightarrow \left( {x - 5} \right)\left[ {\frac{3}{{\sqrt {3x + 1} + 4}} + \frac{1}{{\sqrt {6 - x} + 1}} + \left( {3x + 1} \right)} \right] = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 5} \right)g\left( x \right) = 0$

Với điều kiện trên ta thấy g(x) > 0 vậy x = 5 là nghiệm của PT.

a,

ta có:

(x²+7x+3)²=x⁴+14x³+55x²+42x+9

(8x+4)(x²+5x+2)=8x³+44x²+36x+8

=>x⁴+14x³+55x²+42x+9=8x³+44x²+36x+8

<=>x⁴+6x³+11x²+6x+1=0

xét x=0 ko phải no của pt

xét x khác 0

\(\Leftrightarrow\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)+6\left(x+\frac{1}{x}\right)+11=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+6\left(x+\frac{1}{x}\right)+9=0\Leftrightarrow\left(x+\frac{1}{x}+3\right)^2=0\Rightarrow x=\frac{-3+\sqrt{5}}{2};\frac{-3-\sqrt{5}}{2}\)

d,

xét n=1=> mệnh đề luôn đúng

giả sử mệnh đề đúng với n=k

ta sẽ cm nó đúng với n=k+1

với n=k+1

=>(n+1)(n+2)..(n+n)=2n(n+1)(n+2)...(2n-1)

=2(k+1)(k+2).....2k chia hết cho 2^k+1

=>(n+1)(n+2)(n+3)...(n+n) chia hết cho 2ⁿ

c,

ta có:

\(\left(1+x\right)\left(1+\frac{y}{x}\right)=1+x+y+\frac{y}{x}\ge1+y+2\sqrt{y}=\left(\sqrt{y}+1\right)^2\)

\(\Rightarrow\left(1+x\right)\left(1+\frac{y}{x}\right)\left(1+\frac{9}{\sqrt{y}}\right)^2\ge\left[\left(\sqrt{y}+1\right)\left(1+\frac{9}{\sqrt{y}}\right)\right]^2\)

\(=\left(\sqrt{y}+\frac{9}{\sqrt{y}}+10\right)^2\ge\left(6+10\right)^2=256\left(Q.E.D\right)\)

dấu = xảy ra khi y=9;x=3

b,

x⁷+xy⁶=y¹⁴+y⁸

<=>(x⁷-y¹⁴)+(xy⁶-y⁸)=0

<=>(x-y²)(x+y²)+y⁶(x-y²)=0

<=>(x-y²)(x+y²+y⁶)=0

xét x=y²

\(\Rightarrow\sqrt{4x+5}+\sqrt{y^2+8}=\sqrt{4y^2+5}+\sqrt{y^2-1}\)

\(\Rightarrow\sqrt{4y^2+5}+\sqrt{y^2+8}=6\)

\(\Rightarrow\left(\sqrt{4y^2+5}-3\right)+\left(\sqrt{y^2+8}-3\right)=0\)

\(\Rightarrow\frac{4y^2-4}{\sqrt{4y^2+5}+3}+\frac{y^2-1}{\sqrt{y^2+8}+3}=0\)

\(\Rightarrow\left(y^2-1\right)\left(\frac{4}{\sqrt{4y^2+5}+3}+\frac{1}{\sqrt{y^2+8}+3}\right)=0\)

\(\frac{4}{\sqrt{4y^2+5}+3}+\frac{1}{\sqrt{y^2+8}+3}>0\Rightarrow y^2=1\Rightarrow\left(x;y\right)=\left(1;1\right);\left(1;-1\right)\)

xét x+y²+y⁶=0

<=>x=-y²-y⁶

lại có:

x⁷+xy⁶=y¹⁴+y⁸

<=>x(x⁶+y⁶)=y¹⁴+y⁸

<=>-(y²+y⁶)(x⁶+y⁶)=y¹⁴+y⁸

mà \(-\left(y^2+y^6\right)\left(x^6+y^6\right)\le0\le y^{14}+y^8\)

<=>y=0=>x=0(ko thỏa mãn)

vậy nghiệm của pt:(x;y)=(1;-1);(1;1)

\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{x+y}{xy}=\frac{3}{2}\Rightarrow2\left(x+y\right)=3xy\)

\(x^2+y^2=5\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2-2xy=5\)

Đặt x+y=u; xy=v, ta có hệ

\(\int^{2\left(x+y\right)-3xy=0}_{\left(x+y\right)^2-2xy=5}\Leftrightarrow\int^{2u-3v=0}_{u^2-2v=5}\Leftrightarrow u=3;v=2\)hoặc \(u=-\frac{5}{3};v=-\frac{10}{9}\)

đến đây dùng viet, x và y là nghiệm của 2 phương trình \(X^2-3X+2=0\) hoặc \(X^2+\frac{5}{3}X-\frac{10}{9}=0\). Giải ra được nghiệm (x;y) là   \(\left(1;2\right),\left(2;1\right),\left(\frac{-5+\sqrt{65}}{6};\frac{-5-\sqrt{65}}{6}\right),\left(\frac{-5-\sqrt{65}}{6};\frac{-5+\sqrt{65}}{6}\right)\)

Cho đề \(\hept{\begin{cases}2y^2-x^2=1\\2\left(x^3-y\right)=y^3-x\end{cases}\Leftrightarrow}\)\(\hept{\begin{cases}2\left(y^2+1\right)-\left(x^2+1\right)=2\\x\left(2x^2+1\right)-y\left(y^2+2\right)=0\end{cases}}\)

đặt \(a=y^2+1,b=x^2+1\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2a-b=2\\x\left(2b-1\right)-y\left(a+1\right)=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}b=2a-2\\x\left(4a-5\right)-ya-y=0\end{cases}}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}b=2a-2\\a=\frac{5x+y}{4x-y}\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}b=\frac{2x+4y}{4x-y}\\a=\frac{5x+y}{4x-y}\end{cases}}}\)\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}y^2+1=\frac{5x+y}{4x-y}\left(1\right)\\x^2+1=\frac{2x+4y}{4x-y}\left(2\right)\end{cases}}\)

pt(1)-pt(2),ta dc:\(\left(x-y\right)\left(\frac{3}{4x-y}+x+y\right)=0\)\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=y\left(3\right)\\\frac{3}{4x-y}+x+y=0\left(4\right)\end{cases}}\)

CM:PT (4) vô nghiệm giúp mình nha!Và xem lại nếu mình có lm sai hay thiếu đk j đó hãy chỉ giúp mình nha!!!Hoặc pt(4) có nghiệm thì hãy giải giúp mình luôn nha!Thanks

+Tuấn 10B_2 (T ko biết đánh word nên dùng tạm .V)

GPT: \(\(\sqrt{x+3}+\sqrt[3]{x}=3\)\) (Bài này cách lp 9 dễ t ko giải nữa)

Vì \(\(f\left(x\right)=\sqrt{x+3}+\sqrt[3]{x}=3\)\) là hàm tăng trên tập [-3;\(\(+\infty\)\))

Ta có: Nếu \(\(x&gt;1\Leftrightarrow f\left(x\right)&gt;f\left(1\right)=3\)\)nên pt vô nghiệm

Nếu \(\(-3\le x&lt; 1\Leftrightarrow f\left(x\right)&lt; f\left(1\right)=3\)\)nên pt vô nghuêmj

Vậy x = 1

B2, GHPT: \(\(\hept{\begin{cases}2x^2+3=\left(4x^2-2yx^2\right)\sqrt{3-2y}+\frac{4x^2+1}{x}\\\sqrt{2-\sqrt{3-2y}}=\frac{\sqrt[3]{2x^2+x^3}+x+2}{2x+1}\end{cases}}\)\)

ĐK \(\(\hept{\begin{cases}-\frac{1}{2}\le y\le\frac{3}{2}\\x\ne0\\x\ne-\frac{1}{2}\end{cases}}\)\)

Xét pt (1) \(\(\Leftrightarrow2x^2+3-4x-\frac{1}{x}=x^2\left(4-2y\right)\sqrt{3-2y}\)\)

\(\(\Leftrightarrow-\frac{1}{x^3}+\frac{3}{x^2}-\frac{4}{x}+2=\left(4-2y\right)\sqrt{3-2y}\)\)

\(\(\Leftrightarrow\left(-\frac{1}{x}+1\right)^3+\left(-\frac{1}{x}+1\right)=\left(\sqrt{3-2y}\right)^3+\sqrt{3-2y}\)\)

Xét hàm số \(\(f\left(t\right)=t^3+t\)\)trên R có \(\(f'\left(t\right)=3t^2+1&gt;0\forall t\in R\)\)

Suy ra f(t) đồng biến trên R . Nên \(\(f\left(-\frac{1}{x}+1\right)=f\left(\sqrt{3-2y}\right)\Leftrightarrow-\frac{1}{x}+1=\sqrt{3-2y}\)\)

Thay vào (2) \(\(\sqrt{2-\left(1-\frac{1}{x}\right)}=\frac{\sqrt[3]{2x^2+x^3}+x+2}{2x+1}\)\)

\(\(\Leftrightarrow\sqrt{\frac{1}{x}+1}=\frac{\sqrt[3]{x^2\left(x+2\right)}+x+2}{2x+1}\)\)

\(\(\Leftrightarrow\left(2x+1\right)\sqrt{\frac{1}{x}+1}=x+2+\sqrt[3]{x^2\left(x+2\right)}\)\)

\(\(\Leftrightarrow\left(2+\frac{1}{x}\right)\sqrt{1+\frac{1}{x}}=1+\frac{2}{x}+\sqrt[3]{1+\frac{2}{x}}\)\)

\(\(\Leftrightarrow f\left(\sqrt{1+\frac{1}{x}}\right)=f\left(\sqrt[3]{1+\frac{2}{x}}\right)\)\)

\(\(\Leftrightarrow\sqrt{1+\frac{1}{x}}=\sqrt[3]{1+\frac{2}{x}}\)\)

\(\(\Leftrightarrow\left(1+\frac{1}{x}\right)^3=\left(1+\frac{2}{x}\right)^2\)\)

Đặt \(\(\frac{1}{x}=a\)\)

\(\(\Rightarrow Pt:\left(a+1\right)^3=\left(2a+1\right)^2\)\)

Tự làm nốt , mai ra lớp t giảng lại cho ...