Lời giải:
$x^2-2y^2=5\Rightarrow x$ lẻ. Đặt $x=2k+1$ với $k$ nguyên 

$x^2-2y^2=5$

$\Leftrightarrow (2k+1)^2-2y^2=5$

$\Leftrightarrow 2k^2+2k-y^2=2$

$\Rightarrow y$ chẵn. Đặt $y=2t$ với $t$ nguyên

PT trở thành: $2k^2+2k-4t^2=2$
$\Leftrightarrow k^2+k-2t^2=1$

Điều này vô lý do $k^2+k-2t^2=k(k+1)-2t^2$ chẵn còn $1$ thì lẻ

Vậy pt vô nghiệm.

Lời giải:

PT \(\Leftrightarrow 3x^2+2x(2y-1)+(4y^2+6y+2021-T)=0\)

Coi đây là PT bậc 2 ẩn $x$.

Vì dấu "=" tồn tại nên PT trên luôn có nghiệm

\(\Rightarrow \Delta'=(2y-1)^2-3(4y^2+6y+2021-T)\geq 0\)

\(\Leftrightarrow -8y^2-22y-6062+3T\geq 0\)

\(\Leftrightarrow 3T\geq 8y^2+22y+6062\)

Mà: \(8y^2+22y+6062=8(y+\frac{11}{8})^2+\frac{48375}{8}\geq \frac{48375}{8}\)

\(\Rightarrow T\geq \frac{48375}{8}:3=\frac{16125}{8}\) (đây chính là GTNN của T)

\(\Leftrightarrow \)

a)2x^2-4xy+4y^2+2x+5=x^2-4xy+4y^2+x^2+2x+1+4=(x-2y)^2+(x+1)^2+4>=4(dấu = tự tìm nhé)

b)x(1-x)(x-3)(4-x)=x(x-1)(x-3)(x-4)

=(x^2-4x)(x^2-4x+3)

Đặt x^2-4x=t(t>=-4) bt viết lại t(t+3)=t^2+3t>=-9/4

Dấu= xảy ra khi t=-3/2 >>>tìm x

\(\Leftrightarrow\left(x^2-4xy+4y^2\right)+\left(x^2+2x+1\right)=2017\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2y\right)^2+\left(x+1\right)^2=2017=9^2+44^2\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}\left(x-2y\right)^2=9^2\\\left(x+1\right)^2=44^2\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}\left(x-2y\right)^2=44^2\\\left(x+1\right)^2=9^2\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left(x;y\right)=\left(43;17\right);\left(43;26\right);\left(8;26\right)\)

Đặt x = -2y + k (k \(\inℤ\))

Ta có x² + 8y² + 4xy - 2x - 4y = 4

<=> (-2y + k)² + 8y² + 4y(-2y + k) - 2(-2y + k) - 4y = 4

<=> k² + 4y² - 2k = 4

<=> (k - 1)² + (2y)² = 5 (*) 

Dễ thấy (2y)² \(⋮4\) (**)

Với y,k \(\inℤ\) kết hợp (*) ; (**) ta được 

\(\left\{{}\begin{matrix}\left(k-1\right)^2=1\\\left(2y\right)^2=4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}k=0\\k=2\end{matrix}\right.\\y=\pm1\end{matrix}\right.\) 

Vậy (k,y) = (0;1) ; (0;-1) ; (2;1) ; (2;-1) 

mà x = k - 2y nên các cặp (x;y) thỏa là (-2;1) ; (2;-1) ; (0;1) ; (4;-1)