hello

\(x^3-x^2+2mx-2m=0\)

\(\Leftrightarrow x^2\left(x-1\right)+2m\left(x-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x^2+2m\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x^2=-2m\end{matrix}\right.\)

Để pt có 3 nghiệm \(\Rightarrow-2m>0\Rightarrow m< 0\)

a. Do vai trò 3 nghiệm như nhau, ko mất tính tổng quát giả sử \(x_1=1\) và \(x_2;x_3\) là nghiệm của \(x^2+2m=0\) 

Để pt có 3 nghiệm pb \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}-2m>0\\-2m\ne1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< 0\\m\ne-\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)

Khi đó: \(x_2+x_3=0\Rightarrow x_1+x_2+x_3=1\ne10\) với mọi m

\(\Rightarrow\) Không tồn tại m thỏa mãn yêu cầu

b.

Giả sử pt có 3 nghiệm, khi đó \(\left[{}\begin{matrix}x_2=-\sqrt{-2m}< 0< 1\\x_3=\sqrt{-2m}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\) Luôn có 1 nghiệm của pt âm \(\Rightarrow\) không tồn tại m thỏa mãn

Em coi lại đề bài

\(1,\\ a,ĐK:m\ne1\\ \Delta=49+48\left(m-1\right)=48m+1\\ \text{PT vô nghiệm }\Leftrightarrow48m+1< 0\Leftrightarrow m< -\dfrac{1}{48}\\ \text{PT có nghiệm kép }\Leftrightarrow48m+1=0\Leftrightarrow m=-\dfrac{1}{48}\\ \text{PT có 2 nghiệm phân biệt }\Leftrightarrow48m+1>0\Leftrightarrow m>-\dfrac{1}{48};m\ne1\)

\(b,\Delta=4\left(m-1\right)^2+4\left(2m+1\right)=4m^2+8>0,\forall m\\ \text{Vậy PT có 2 nghiệm phân biệt với mọi m}\\ 2,\\ \text{PT có 2 nghiệm phân biệt }\)

\(\Leftrightarrow\Delta=4\left(m+1\right)^2-4\left(m^2-1\right)>0\\ \Leftrightarrow4m^2+8m+4-4m^2+4>0\\ \Leftrightarrow8m+8>0\\ \Leftrightarrow m>-1\)

a, \(\sqrt{2x^2-2x+m}=x+1\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x^2-2x+m=x^2+2x+1\\x+1\ge0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2-4x+m-1=0\left(1\right)\\x\ge-1\end{matrix}\right.\)

Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi phương trình \(\left(1\right)\) có nghiệm \(x\ge-1\) chỉ có thể xảy ra các trường hợp sau

TH1: \(x_1\ge x_2\ge-1\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta'\ge0\\\dfrac{x_1+x_2}{2}\ge-1\\1.f\left(-1\right)\ge0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}5-m\ge0\\2\ge-1\\m+4\ge0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow-4\le m\le5\)

TH2: \(x_1\ge-1>x_2\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}5-m\ge0\\m+4< 0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\) vô nghiệm

Vậy \(-4\le m\le5\)

Lời giải:$|x^2-2|x|+m|=1$

$\Rightarrow x^2-2|x|=\pm 1$

\(\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} m=1-x^2+2|x|=2-(|x|-1)^2(*)\\ m=-1-x^2+2|x|=-(|x|-1)^2(**)\end{matrix}\right.\)

TH1: $m\leq 0$ thì:

Từ (*) suy ra $|x|=1+\sqrt{2-m}\Rightarrow x=\pm (1+\sqrt{2-m})$ (2 nghiệm phân biệt)

Từ (**) suy ra $|x|=1\pm \sqrt{-m}$. PT này cũng có ít nhất 2 nghiệm phân biệt $x=\pm (1+\sqrt{-m})$ 

Kéo theo PT ban đầu có ít nhất 4 nghiệm phân biệt (loại)

TH2: $m>2$ thì hiển nhiên PT (*); (**) đều vô nghiệm (loại)

TH3: $2\geq m>0$ thì:

(**) hiển nhiên vô nghiệm

(*) $\Rightarrow |x|=1\pm \sqrt{2-m}$.

Với $|x|=1+\sqrt{2-m}$ thì $x=\pm (1+\sqrt{2-m})$ (2 nghiệm phân biệt)

Do đó để pt chỉ có 2 nghiệm pb thì trường hợp $|x|=1-\sqrt{2-m}$ vô nghiệm hoặc $1-\sqrt{2-m}=1+\sqrt{2-m}$ Điều này xảy ra khi 1-\sqrt{2-m}<0$ hoặc $m=2$

$\Rightarrow  0< m<1$ hoặc $m=2$

Ở TH3 còn trường hợp  \(1+\sqrt{2-m}=1-\sqrt{2-m}\Leftrightarrow m=2\)

thì pt cũng cho 2 nghiệm phân biệt 

Câu c) mình sai rồi nên hãy giúp mình câu a và b thôi 

Đặt \(\sqrt{x+2}+\sqrt{6-x}=t\left(2\sqrt{2}\le t\le4\right)\)

\(\Rightarrow\sqrt{\left(x+2\right)\left(6-x\right)}=\dfrac{t^2-8}{2}\)

Khi đó phương trình tương đương:

\(2m=f\left(t\right)=t^2+2t-8\)

Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi \(minf\left(t\right)\le2m\le maxf\left(t\right)\)

\(\Leftrightarrow f\left(2\sqrt{2}\right)\le2m\le f\left(4\right)\)

\(\Leftrightarrow4\sqrt{2}\le2m\le16\Rightarrow2\sqrt{2}\le m\le8\)

Đặt $x^2=a$. Khi đó pt có dạng :

$a^2-(2m+2)a+4=0$ (1)

Xét $\Denlta' = m^2+2m+1-4$

$ = m^2+2m-3=(m-1).(m+3)$

Để pt ban đầu có 4 nghiệm nghiệm thì pt (1) phải có 2 nghiệm phân biệt

Nên $(m-1).(m+3) > 0 $

$.....$

giải chi tiết được không