Ta đưa về dạng: \(\left(2y+1\right)^2=\left(2x^2+x\right)^2+\left(3x+1\right)\left(x+1\right)\)

\(=\left(2x^2+x+1\right)^2-x\left(x-2\right)\)

Khi:\(\left(3x+1\right)\left(x+1\right)\)dương thì: \(\left(2y+1\right)^2>\left(2x^2+x\right)^2\)

Khi: \(x\left(x-2\right)\) dương thì: \(\left(2y+1\right)^2< \left(2x^2+x+1\right)^2\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x< -1\\x>2\end{cases}}\)\(\left(2x^2+x\right)^2< 4x^4+4x^3+4x^2+4x+1< \left(2x^2+x+1\right)^2\)

Mà: \(2x^2+x\) và \(2x^2+x+1\)là hai số liên tiếp nên trường hợp này không có nghiệm nguyên.

Vậy muốn có nghiệm nguyên thì: \(-1\le x\le2\Rightarrow x=0;1;1;2\)

Vậy pt có nghiệm nguyên \(\left(x,y\right)=\left\{\left(-1;0\right);\left(-1;-1\right);\left(0;0\right);\left(0;-1\right);\left(2;5\right);\left(2;-6\right)\right\}\)

\(\Leftrightarrow y^2+y=\left(x^4+x^3\right)+\left(x^2+x\right)\)

\(\Leftrightarrow y\left(y+1\right)=x^3\left(x+1\right)+x\left(x+1\right)\)

\(\Leftrightarrow y\left(y+1\right)=\left(x^3+x\right)\left(x+1\right)\)

\(\Leftrightarrow y\left(y+1\right)=\left[x\left(x+1\right)\right]^2\)

Mà (y,y+1)=1

\(\Rightarrow y\in\left\{0;-1\right\}\)

\(\Rightarrow\left[x\left(x+1\right)\right]^2=0\Rightarrow x\in\left\{-1;0\right\}\)

Vậy\(\left(x,y\right)\in\left\{\left(0;0\right),\left(-1;0\right),\left(-1;-1\right),\left(0;-1\right)\right\}\)

mk làm hơi tắt sorry