Đặt 7p + 1 = n^3 (n > 2)

=> 7p = (n - 1)(n^2 + n + 1)

Ta có 2 TH :

TH1 : n -  1  = 7 \(\forall\)n^2 + n +1 = p => n = 8 => p = 73

TH2 : n - 1 = p \(\forall\) n^2 + n + 1 =7 => ....

Lời giải:

Đặt $7p+1=a^3$ với $a$ là số tự nhiên.

$\iff 7p=a^3-1=(a-1)(a^2+a+1)$

Đến đây có các TH: 

TH1: $a-1=7;a^2+a+1=p$

$\Rightarrow a=8;p=73$ (tm) 

TH2: $a-1=p,a^2+a+1=7$

$\Rightarrow a=2$ hoặc $a=-3$

$\Rightarrow p=1$ hoặc $p=-4$ (không thỏa mãn) 

TH3: $a-1=7p;a^2+a+1=1$ (dễ loại) 

TH4: $a-1=1;a^2+a+1=7p$ (cũng dễ loại)

Lý thuyết : 

Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1 và chỉ có 2 ước là 1 và chính nó. Mọi số tự nhiên >1 bao giờ cũng có ước nguyên tố . 
- Hợp số là số tự nhiên lớn hơn 1 và có nhiều hơn 2 ước 
- Tập hợp số nguyên tố là vô hạn 
- Số 0 và 1 không phải là số nguyên tố; cũng không là hợp số 
- Số nguyên tố chẵn duy nhất là 2 
- Số a và b gọi là 2 số nguyên tố cùng nhau 
- p là số nguyên tố; p > 2 có dạng : p = 4n + 1 hoặc p= 4n+3 
- p là số nguyên tố; p > 3 có dạng : p = 6n +1 hoặc p =6n + 5 
- Ước nguyên tố nhỏ nhất của hợp số N là 1 số không vượt quá √N 
- số nguyên tố Mecxen có dạng 2^p - 1 (p là số nguyên tố ) 
- Số nguyên tố Fecma có dạng 2^(2n) + 1 (n Є N) 
Khi n = 5. Euler chỉ ra 2^(2.5) + 1 = 641.6700417 (hợp số ) 


Bài tập: 

Đặt 2p + 1 = n³ với n là số tự nhiên 

Cách giải: phân tích ra thừa số 
Dùng tính chất : Số nguyên tố có 2 ước là 1 và chính nó. 

Giải: 

♣ Ta thấy p = 2 thì 2p + 1 = 5 không thỏa = n³ 

♣ Nếu p > 2 => p lẻ (Do Số nguyên tố chẵn duy nhất là 2 ) 
Mặt khác : 2p + 1 là 1 số lẻ => n³ là một số lẻ => n là một số lẻ 

=> 2p + 1 = (2k + 1)³ ( với n = 2k + 1 ) 
<=> 2p + 1 = 8k³ + 12k² + 6k + 1 
<=> p = k(4k² + 6k + 3) 

=> p chia hết cho k 
=> k là ước số của số nguyên tố p. 

Do p là số nguyên tố nên k = 1 hoặc k = p 

♫ Khi k = 1 
=> p = (4.1² + 6.1 + 3) = 13 (nhận) 

♫ Khi k = p 
=> (4k² + 6k + 3) = (4p² + 6p + 3) = 1 
Do p > 2 => (4p² + 6p + 3) > 2 > 1 
=> không có giá trị p nào thỏa. 

Đáp số : p = 13

thay 2p+1 là 7p+1 nha 

thay vào mak tự làm sẽ thông minh hơn@@

\(7p+1=a^3\)( a là số nguyên )

\(\Rightarrow7p=a^3-1\)

\(\Rightarrow7p=\left(a-1\right)\left(a^3+a+1\right)\)( Phân tích ra hằng đẳng thức )

\(\Rightarrow7p⋮a-1\)

Mà 7 và p đều là các số nguyên tố nên ta xét 2 trường hợp: 

Làm nốt đi xét các trường hợp rồi thay vô giải là xong nha :3

Lời giải:

Đặt $7p+1=a^3$ với $a$ là số tự nhiên.

$\Leftrightarrow 7p=a^3-1=(a-1)(a^2+a+1)$

Đến đây có các TH: 

TH1: $a-1=7; a^2+a+1=p$

$\Rightarrow a=8; p=73$ (tm) 

TH2: $a-1=p, a^2+a+1=7$

$\Rightarrow a=2$ hoặc $a=-3$

$\Rightarrow p=1$ hoặc $p=-4$ (không thỏa mãn) 

TH3: $a-1=7p; a^2+a+1=1$ (dễ loại) 

TH4: $a-1=1; a^2+a+1=7p$ (cũng dễ loại)

Ta thấy :

\(2^3=7.1+1\left(p=1\right)\)

\(4^3=7.9+1\left(p=9\right)\)

\(8^3=7.73+1\left(p=73\right)\)

\(16^3=7.585+1\left(p=585\right)\)

\(32^3=7.4681+1\left(p=4681\right)\)

.....

\(\left(2k\right)^3=7.4681+1\left(p=2k\right)\) (k là số chẵn, k>=1)

\(\Rightarrow p\in\left\{1;9;73;585;4681...\right\}\)

bài này lớp 6 mà!

Câu 2: Nếu a,b là số nguyên tố lớn hơn 3 => a,b lẻ

vì a ;b lẻ nên a;b chia 4 dư 1 hoặc 3(vì nếu dư 2 thì a ;b chẵn) đặt a = 4k +x ; b = 4m + y 
với x;y = {1;3} 
ta có: 
a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) = (4k -4m + x-y)(4k +4m +x+y) = 
16(k-m)(k+m) + 4(k-m)(x+y) + 4(k+m)(x-y) + (x-y)(x+y) 
nếu x = 1 ; y = 3 và ngược lại thì x+y chia hết cho 4 và x-y chia hết cho 2 
=> 16(k-m)(k+m) + 4(k-m)(x+y) + 4(k+m)(x-y) + (x-y)(x+y) chia hết cho 8 
=> a^2 - b^2 chia hết cho 8 
nếu x = y thì 
x-y chia hết cho 8 và x+y chia hết cho 2 
=> 4(k-m)(x+y) chia hết cho 8 và 4(k+m)(x-y) + (x-y)(x+y) chia hết cho 8 
=> a^2 - b^2 chia hết cho 8 
vậy a^2 - b^2 chia hết cho 8 với mọi a,b lẻ (1) 
ta có: a;b chia 3 dư 1 hoặc 2 => a^2; b^2 chia 3 dư 1 
=> a^2 - b^2 chia hết cho 3 (2) 
từ (1) và (2) => a^2 -b^2 chia hết cho 24 
Tick nha TFBOYS

1. 

\(p=2\Rightarrow p+6=8\) ko phải SNT (ktm)

\(\Rightarrow p>2\Rightarrow p\) lẻ \(\Rightarrow p^2\) lẻ \(\Rightarrow p^2+2021\) luôn là 1 số chẵn lớn hơn 2 \(\Rightarrow\) là hợp số

2.

\(a^2+3a=k^2\Rightarrow4a^2+12a=4k^2\)

\(\Rightarrow4a^2+12a+9=4k^2+9\Rightarrow\left(2a+3\right)^2=\left(2k\right)^2+9\)

\(\Rightarrow\left(2a+3-2k\right)\left(2a+3+2k\right)=9\)

\(\Leftrightarrow...\)

Em xin cách làm bài 1 ạ 

Áp dụng Nguyên lí kẹp

\(\left(2p^2+p\right)^2< 4A< \left(2p^2+p+2\right)^2\)

đặt: p⁴ + p³ + p² + p + 1 = n²

theo đề bài, ta có:

\(4n^2\ge4p^4+4p^3+4p^2+4p+4\ge4p^4+4p^3+p^2=\left(2p^2+p\right)^2\) (1)

\(4n^2\le4p^4+4p^3+4p^2+4p+4+5p^2=\left(2p^2+p+2\right)^2\)(2)

từ (1) và (2) => \(4n^2=\left(2p^2+p+1\right)^2\)

 \(\Rightarrow2n=2p^2+p+1\)

bình phương hai vế của đẳng thức này và so sánh với n², ta có:

\(p^2-2p-3=0\)

\(\Leftrightarrow\left(p+1\right)\left(p-3\right)=0\)

p là số nguyên tố nên phương trình trên có nghiệm p = 3 thỏa mãn. 

=> p = 3.