Đặt \(3n+6=x^3,n+1=y^3\)vì \(n\inℕ^∗\)nên \(x>1,y>3\)và x,y nguyên dương

\(\left(3n+6\right)-\left(n+1\right)=x^3-y^3\)

\(\Leftrightarrow2n+5=\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)\)(1)

Vì 2n+5 là số nguyên tố nên chỉ có 2 ước là 1 và 2n+5 mà (x-y) và (x²+xy+y²) cũng là 2 ước của 2n-5 nên:

\(\orbr{\begin{cases}x-y=1,x^2+xy+y^2=2n+5\\x^2+xy+y^2=1,x-y=2n+5\end{cases}}\)mà \(x>1,y>3\)nên vế dưới không thể xảy ra.

Vậy \(\hept{\begin{cases}x=y+1\\x^2+xy+y^2=2n+5\end{cases}}\)thay vế trên vào vế dưới\(\Rightarrow\left(y+1\right)^2+y\left(y+1\right)+y^2=2n+5\)

\(\Rightarrow3y^2+3y+1=2n+5\)

Vậy ta xét \(\hept{\begin{cases}3y^2+3y+1=2n+5\\y^3=n+1\Rightarrow2y^3=2n+2\end{cases}}\)trừ 2 biểu thức vế theo vế:

\(\Rightarrow-2y^3+3y^2+3y+1=3\Leftrightarrow\left(y+1\right)\left(y-2\right)\left(1-2y\right)=0\)

Vì nguyên dương nên nhận y=2--->n=7

Ta có: \(n^5+n^4+1\)

\(=n^5-n^3+n^2+n^4-n^2+n+n^3-n+1\)

\(=n^2\left(n^3-n+1\right)+n\left(n^3-n+1\right)+\left(n^3-n+1\right)\)

\(=\left(n^3-n+1\right)\left(n^2+n+1\right)\) 

Do \(n^5+n^4+1\) là số nguyên tố nên: \(\left[{}\begin{matrix}n^3-n+1=1\\n^2+n+1=1\end{matrix}\right.\)  trong hai số phải có 1 số là 1 và số còn lại là số nguyên tố:

TH1: \(n^3-n+1=1\)

\(\Leftrightarrow n^3-n=0\)

\(\Leftrightarrow n\left(n^2-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}n=0\\n=1\\n=-1\end{matrix}\right.\)

Với 

\(n=0\Rightarrow0^5+0^4+1=1\) (loại)

\(n=1\Rightarrow1^5+1^4+1=3\) (nhận)

\(n=-1\Rightarrow\left(-1\right)^5+\left(-1\right)^4+1=1\) (loại)

TH1: \(n^2+n+1=1\)

\(\Leftrightarrow n^2+n=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}n=0\\n=-1\end{matrix}\right.\left(\text{loại}\right)\)

Vậy \(n=1\) là số thỏa mãn để \(n^5+n^4+1\) là số nguyên tố 

Bài làm:

Vì n và 40 là 2 SNT cùng nhau => n và 10 là 2 SNT cùng nhau

=> n sẽ không chia hết cho 2 hoặc 5

=> n là số lẻ

Đặt n = 2k+1 (k là số tự nhiên)

=> n⁴-1 = (n²-1)(n²+1) = (n-1)(n+1)(n²+1)

Thay n = 2k+1 vô ta được: (2k+1-1)(2k+1+1)(4k²+4k+1+1)

= 2k(2k+2)(4k²+4k+2)

= 8k(k+1)(2k²+2k+1) chia hết cho 8

=> n⁴-1 chia hết cho 8 (1)

Ta lại đặt n = 5k+1 (k lẻ)

=> n⁴-1 = (n+1)(n-1)(n²+1) = (5k+1-1)(5k+1+1)(25k²+10k+1)

= 5k(5k+2)(25k²+10k+1) chia hết cho 5

=> n⁴-1 chia hết cho 5 (2)

Từ (1) và (2) => \(n^4-1⋮8.5=40\)

Vậy \(n^4-1⋮40\)

Mk k chắc bài mk làm đúng nhé!

Ta có n² + 2n - 8 = (n + 4)(n - 2)

Vì n > 0 => n + 4 > 0

=> Để n² + 2n - 8 là số nguyên tố 

thì n - 2 = 1 => n = 3 

Thử lại 3² + 2.3 - 8 = 7 (đúng)

Vậy n = 3 thì n² + 2n - 8 là số nguyên tố