Bài 12: 

Để N là số nguyên thì \(\sqrt{x}+3⋮\sqrt{x}+5\)

\(\Leftrightarrow-2⋮\sqrt{x}+5\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}+5\in\left\{1;-1;2;-2\right\}\)(vô lý

Bài 11: 

Để M là số nguyên thì \(3\sqrt{x}+1⋮\sqrt{x}+3\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}+3\in\left\{1;-1;2;-2;4;-4;8;-8\right\}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}+3\in\left\{4;8\right\}\)

\(\Leftrightarrow x\in\left\{1;25\right\}\)

em tham khảo

Lời giải:
$M(2\sqrt{x}-3)=\sqrt{x}+2$

$\Leftrightarrow \sqrt{x}(2M-1)=3M-2$

$\Leftrightarrow x=(\frac{3M-2}{2M-1})^2$

Vì $x$ nguyên nên $\frac{3M-2}{2M-1}$ nguyên 

$\Rightarrow 3M-2\vdots 2M-1$

$\Leftrightarrow 6M-4\vdots 2M-1$
$\Leftrightarrow 3(2M-1)-1\vdots 2M-1$
$\Leftrightarrow 1\vdots 2M-1$

$\Rightarrow 2M-1\in\left\{\pm 1\right\}$

$\Rightarrow M=0;1$

$\Leftrightarrow x=4; 1$ (đều tm)

a) \(M=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}-\dfrac{6\sqrt{x}-3}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}\left(x\ge0,x\ne1\right)\)

\(=\dfrac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+2\right)-6\sqrt{x}+3}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}=\dfrac{x-4\sqrt{x}+3}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}=\dfrac{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}=\dfrac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}+2}\)

b) \(M=\dfrac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}+2}=1-\dfrac{5}{\sqrt{x}+2}\in Z\)

\(\Rightarrow\sqrt{x}+2\inƯ\left(5\right)=\left\{-5;-1;1;5\right\}\)

Do \(\sqrt{x}\ge0\forall x\)

\(\Rightarrow\sqrt{x}\in\left\{3\right\}\Rightarrow x=9\left(tm\right)\)

\(B+1=\dfrac{2\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+3}+1=\dfrac{3\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+3}>0\Rightarrow B>-1\)

\(B-2=\dfrac{2\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+3}-2=\dfrac{-7}{\sqrt{x}+3}< 0\Rightarrow B< 2\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}B=0\\B=1\end{matrix}\right.\)

- Với \(B=0\Rightarrow\sqrt{x}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow x=\dfrac{1}{4}\notin Z\) (loại)

- Với \(B=1\Rightarrow2\sqrt{x}-1=\sqrt{x}+3\Leftrightarrow\sqrt{x}=4\Rightarrow x=16\)

Bài 5:

\(C=\frac{2\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}-2}=\frac{2(\sqrt{x}-2)+1}{\sqrt{x}-2}=2+\frac{1}{\sqrt{x}-2}\)

Để $C$ nguyên nhỏ nhất thì $\frac{1}{\sqrt{x}-2}$ là số nguyên nhỏ nhất.

$\Rightarrow \sqrt{x}-2$ là ước nguyên âm lớn nhất

$\Rightarrow \sqrt{x}-2=-1$

$\Leftrightarrow x=1$ (thỏa mãn đkxđ)

Bài 6:

$D(\sqrt{x}+1)=x-3$

$D^2(x+2\sqrt{x}+1)=(x-3)^2$

$2D^2\sqrt{x}=(x-3)^2-D^2(x+1)$ nguyên 

Với $x$ nguyên ta suy ra $\Rightarrow D=0$ hoặc $\sqrt{x}$ nguyên 

Với $D=0\Leftrightarrow x=3$ (tm)

Với $\sqrt{x}$ nguyên:

$D=\frac{(x-1)-2}{\sqrt{x}+1}=\sqrt{x}-1-\frac{2}{\sqrt{x}+1}$

$D$ nguyên khi $\sqrt{x}+1$ là ước của $2$

$\Rightarrow \sqrt{x}+1\in\left\{1;2\right\}$

$\Leftrightarrow x=0; 1$

Vì $x\neq 1$ nên $x=0$.

Vậy $x=0; 3$