a) Nhận thấy x = 1 không là nghiệm của phương trình nên ta xét \(x\ge2\)

 Do đó , y là số lẻ 

Mà 12^x , y²  \(\equiv1\left(mod8\right)\)

Suy ra 5^x \(\equiv1\left(mod8\right)\)

=> x chẵn 

Đặt x = 2k (k > 0)

=> 5^2k = (y - 12^k)(y + 12^k) 

Mặt khác , 5 là số nguyên tố nên tồn tại một số m,m < k thõa : y + 12^k = 5^{2k - m} 

và y - 12^k = 5^m 

=> 2.12^k = 5^m(5^{2k - 2m} - 1)

Nhận thấy : 2 và 12 là hai số nguyên tố cùng nhau với 5 

=> 5^2k + 12^2k = (12^k + 1)²

Mà 2.12^k  =  5^m =>  m = 0 và y = 12^k + 1

=> 2.12^k = 25^k - 1

Tìm từng giá trị của k thấy k = 1 thõa mãn phương trình 

Vậy x = 2 , y = 13

b) Dùng nhị thức Newton , ta khai triển hai hạng tử được 

\(\left(2+\sqrt{3}\right)^{2016}+\left(2-\sqrt{3}\right)^{2016}=2^{2016}+2^{2016}+3^{1008}+3^{1008}=2\left(2^{2016}+3^{1008}\right)⋮2\)

Vậy ...... 

\(pt\Leftrightarrow\frac{\sqrt{y-4}}{y}+\frac{\sqrt{x-4}}{x}=\frac{1}{2}\)

Áp dụng BĐT AM-GM ta có: 

\(\frac{\sqrt{y-4}}{y}=\frac{\sqrt{4\left(y-4\right)}}{2y}\le\frac{4+y-4}{2\cdot2y}=\frac{1}{4}\)

Tương tự ta cũng có \(\frac{\sqrt{x-4}}{x}\le\frac{1}{4}\)

Cộng theo vế ta có Đpcm

Dấu "=" xảy ra khi x=y, thay vào giải ra ta dc x=y=8

Bài 1:

Ta thấy: \(y^2=5^x+12^x\equiv 5^x\equiv (-1)^x\pmod 3\)

Nếu $x$ lẻ suy ra \(y^2\equiv (-1)^x\equiv -1\equiv 2\pmod 3\)

Điều này vô lý do một số chính phương chia $3$ chỉ có thể dư $0,1$

Do đó $x$ chẵn. Đặt \(x=2k\)

\(\Rightarrow 5^{2k}+12^{2k}=y^2\)

\(\Leftrightarrow (y-12^k)(y+12^k)=5^{2k}\)

Khi đó tồn tại $m,n\in\mathbb{N}$ sao cho:

\(\left\{\begin{matrix} y-12^k=5^m\\ y+12^k=5^n\end{matrix}\right.(m+n=2k)\)

\(\Rightarrow 2.12^k=5^n-5^m\)

Vì \(2.12^k\not\vdots 5\Rightarrow 5^n-5^m\not\vdots 5\). Do đó bắt buộc một trong hai số $m,n$ bằng $0$

Vì cả hai đều là số tự nhiên mà $m< n$ nên $m=0$

Do đó: \(2.12^k=5^n-1=5^{2k}-1=25^k-1(*)\)

Nếu \(k=0\) thì vô lý

Nếu \(k=1\Rightarrow x=2\Rightarrow y=13\) (thỏa mãn)

Nếu \(k\geq 2\) : \(25^k-1=(24+1)^k-1>24^k=2^k.12^k>2.12^k\) (trái với $(*)$)

Vậy \((x,y)=(2,13)\)

Bài 2:

Đặt \(\left\{\begin{matrix} 2+\sqrt{3}=a\\ 2-\sqrt{3}=b\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} ab=1\\ a+b=4\end{matrix}\right.\)

Ta sẽ chứng minh \(a^n+b^n\) luôn chẵn với mọi \(n\in\mathbb{N}\) bằng quy nạp

Thật vậy:

\(n=0\Rightarrow a^n+b^n=2\) chẵn

\(n=1\Rightarrow a^n+b^n=a+b=4\) chẵn

....

Giả sử điều ta nhận định đúng đến \(n=k\) .

Ta chứng minh nó cũng đúng với \(n=k+1\)

Thật vậy:

\(a^{k+1}+b^{k+1}=(a^k+b^k)(a+b)-a^kb-ab^k\)

\(=4(a^k+b^k)-ab(a^{k-1}+b^{k-1})\)

\(=4(a^k+b^k)-(a^{k-1}+b^{k-1})\)

Vì nhận định đúng đến $n=k$ nên \(a^{k-1}+b^{k-1}\) chẵn

\(\Rightarrow a^{k+1}+b^{k+1}=4(a^k+b^k)-(a^{k-1}+b^{k-1})\) chẵn

Ta có đpcm

Thay \(n=2016\) thì từ kết quả vừa chứng minh suy ra \((2+\sqrt{3})^{2016}+(2-\sqrt{3})^{2016}=a^{2016}+b^{2016}\) chẵn

Ta có \(\left(x+y\right)^3=\left(x-y-6\right)^2\left(1\right)\)

Vì x,y nguyên dương nên

\(\left(x+y\right)^3>\left(x+y\right)^2\)kết hợp (1) ta được:

\(\left(x-y-6\right)^2>\left(x+y\right)^2\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2-\left(x-y-6\right)^2< 0\Leftrightarrow\left(x-3\right)\left(y+3\right)< 0\)

Mà y+3 >0 (do y>0)\(\Rightarrow x-3< 0\Leftrightarrow x< 3\)

mà \(x\inℤ^+\)\(\Rightarrow x\in\left\{1;2\right\}\)

*x=1 thay vào (1) ta có:

\(\left(1+y\right)^3=\left(1-y-6\right)^2\Leftrightarrow y^3+3y^2+3y+1=y^2+10y+25\Leftrightarrow\left(y-3\right)\left(y^2+5y+8\right)=0\)

mà \(y^2+5y+8=\left(y+\frac{5}{2}\right)^2+\frac{7}{4}\ge\frac{7}{4}>0\)

\(\Rightarrow y-3=0\Leftrightarrow y=3\inℤ^+\)

*y=2 thay vào (1) ta được: 

\(\left(2+y\right)^3=\left(2-y-6\right)^2\Leftrightarrow y^3+6y^2+12y+8=y^2+8y+16\Leftrightarrow y^3+5y^2+4y-8=0\)

Sau đó cm pt trên không có nghiệm nguyên dương.

Vậy x=1;y=3

Để lên lớp 9 rồi em giải cho 

Mà em thấy CTV đâu rồi nhỉ

Các bn CTV phải giúp đỡ tình trạng thế này nhé

Chúc bn hok giỏi , sớm có người giải cho bn bài này

Chứng minh gì bạn?