1) n⁴ + 4 = (n⁴ + 4n² + 4) - 4n² = (n² + 2)² - (2n)² = (n² + 2 + 2n).(n² + 2 - 2n)

Ta có n²  + 2n + 2 = (n+1)² + 1 > 1 với n là số tự nhiên 

n² - 2n + 2 = (n -1)²  + 1 $\ge$ 1 với n là số tự nhiên

Để  n⁴ + 4 là số nguyên tố =>  thì  n⁴ + 4 chỉ có 2 ước là chính nó và 1 

=> n²  + 2n + 2  = n⁴ + 4 và n² - 2n + 2 = (n -1)²  + 1  = 1 

(n -1)²  + 1  = 1 => n - 1= 0 => n = 1

Vậy n = 1 thì n⁴ là số nguyên tố

Xem lại cái đề thử đúng chưa nhé

\(U\left(n\right)=n^3-n^2-7n+1\)

U(0)=1;U(2)==-9;U(3)=-1;U(4)=21

Đặt n=(p+4) {xét luôn dương đỡ loạn)

\(U\left(p\right)=p^3+11p^2+40p+21\) (*)Với P thuộc N => U(P) luôn dương 

\(U\left(p\right)=p^3+2p^2+p+\left(9p^2+39p+21\right)\)(**)

\(U\left(p\right)=p\left(p+1\right)^2+\left(9p^2+39p+21\right)\)(***)

với p=3 U(3)=27+11.9+40.3+21=89 nguyên tố (nhận)

với p> 3 p=3k hiển nhiên (**) U(p) không nguyên tố

với p=3k+2=> (p+1)=3k+3 chia hết cho 3=> U(p) không nguyên tố

với p=3k+1=>p(p+1)^2 chia 3 dư 1

xét tiếp:

với k =2t+1 hiển nhiên p chẵn => (***) H(p) chia hết cho 2 loại

=> P có dạng 6k+1: với k=1=>P=7 \(\frac{U\left(7\right)}{7}=169=13^2\)Loại

"thôi quá dài -xét tiếp có lẽ => U(p) hợp số nhưng mỏi lắm:

Tạm chấp nhận p=3; n=7  (c/m hoàn chỉnh hoặc tìm ra con nào lớn hơn 89 dành cho @Ailibaba)

B = (n^4-3n^3)+(2n^3-6n^2)+(7n-21) = (n-3).(n^3+2n^2+7)

Để B là số nguyên tố => n-3 = 1 hoặc n^3+2n^2+7 = 1

=> n=4 hoặc n^3+2n^2+6=0

=> n=4 ( vì n^3+2n^2+6 > 0 )

Khi đó : B = 4^4-4^3-6.4^2+7.4-21 = 103 là số nguyên tố (tm)

Vậy n = 4

k mk nha

\(P=n^4+4\) là số nguyên tố

mà \(n^4\) là số nguyên tố khi \(n=1\) và \(4\) là hợp số

\(\Rightarrow n\in\left\{1;3;5;7;...2k+1\right\}\left(k\in N\right)\)