(-1)^n+1x(2xn+số dư)

Nhận xét :

Số hạng thứ nhất là :-1=(-1)^1*(2*1-1)

Số hạng thứ hai là :3=(-1)^2*(2*2-1)

Số hạng thứ ba là :-5=(-1)^3*(2*3-1)

Số hạng thứ tư là :7=(-1)^4*(2*4-1)

.........................................................

Số hạng thứ n của tổng A có dạng là :(-1)^2*(2n-1)

Vậy ...............

\(=\dfrac{7}{103}-\dfrac{9}{101}+2023-\dfrac{7}{103}-\dfrac{9}{101}-2023=-\dfrac{18}{101}\)

a)  + A= -1 nếu x=1 vì A=-1+1+(-1)+....+(-1) 

     + A= 101 nếu x=1 vì A=1+1+1+....+1=101x1=101

     + A=0 nếu x=0 vì 0+0+....+0=0

b)  + B=-1+-1+-1+....+-1=-1x52=-52 khi x=-1

    + B=1+1+1+....+1=1x52=52 khi x=1

\(A=\dfrac{1}{101}+\dfrac{1}{102}+\dfrac{1}{103}+...+\dfrac{1}{199}+\dfrac{1}{120}\left(a\right)\)

\(\Rightarrow A=\left(\dfrac{1}{101}+\dfrac{1}{102}+...\dfrac{1}{125}\right)+\left(\dfrac{1}{126}+\dfrac{1}{127}+...\dfrac{1}{150}\right)+\left(\dfrac{1}{151}+\dfrac{1}{152}+...\dfrac{1}{175}\right)+\left(\dfrac{1}{176}+\dfrac{1}{177}+...\dfrac{1}{200}\right)\)

\(\Rightarrow A>25.\dfrac{1}{125}+25.\dfrac{1}{150}+25.\dfrac{1}{175}+25.\dfrac{1}{200}\)

\(\Rightarrow A>\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{7}+\dfrac{1}{8}\)

\(\Rightarrow A>\dfrac{168+140+120+105}{840}=\dfrac{533}{840}>\dfrac{5}{8}\left(\dfrac{533}{840}>\dfrac{525}{840}\right)\)

\(\Rightarrow A>\dfrac{5}{8}\left(1\right)\)

\(\left(a\right)\Rightarrow A=\left(\dfrac{1}{101}+...\dfrac{1}{120}\right)+\left(\dfrac{1}{121}+...\dfrac{1}{140}\right)+\left(\dfrac{1}{141}+...\dfrac{1}{160}\right)+\left(\dfrac{1}{161}+...\dfrac{1}{180}\right)+\left(\dfrac{1}{181}+...\dfrac{1}{200}\right)\)

\(\Rightarrow A< 20.\dfrac{1}{100}+20.\dfrac{1}{120}+20.\dfrac{1}{140}+20.\dfrac{1}{160}+20.\dfrac{1}{180}\)

\(\Rightarrow A< \dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{7}+\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{9}\)

\(\Rightarrow A< \dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{7}+\dfrac{1}{8}+\dfrac{504+420+360+315+280}{2520}=\dfrac{1879}{2520}< \dfrac{3}{4}\left(\dfrac{1879}{2520}< \dfrac{1890}{2520}\right)\)

\(\Rightarrow A< \dfrac{3}{4}\left(2\right)\)

\(\left(1\right),\left(2\right)\Rightarrow\dfrac{5}{8}< A< \dfrac{3}{4}\left(dpcm\right)\)

 Ta có;A= 1/101^2+1/102^2+1/103^2+1/104^2+1/105^2 
A>1/(100x101)+1/(101x102)+1/(102x103)+... Vì cùng tử mẫu nhỏ hơn thì lớn hơ 
A>1/100-1/101+1/101-1/102+1/102-1/103+... 
A>1/100-1/105=1/2100=1/(2^2.3.5^2.7)=B 
Vậy A>B

Ta có:A= 1/101^2+1/102^2+1/103^2+1/104^2+1/105^2 
         A>1/(100x101)+1/(101x102)+1/(102x103)+... 

Vì cùng tử mẫu nhỏ hơn thì lớn hơ 
         A>1/100-1/101+1/101-1/102+1/102-1/103+... 
        A>1/100-1/105=1/2100=1/(2^2.3.5^2.7)=B 
=>Vậy A>B