Câu hỏi của Lê VĂn Chượng

Question

Xét các số thực x, y thỏa mãn $\sqrt{x^2+y^2+4x-2y+5}+\sqrt{x^2+y^2-8x-14y+65}=6\sqrt{2}$Gọi m và M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức $T=x^2+y^2-2x+2y+2$.Tính P = m +...

Kiệt Nguyễn · Accepted Answer

Ta có: $\sqrt{x^2+y^2+4x-2y+5}+\sqrt{x^2+y^2-8x-14y+65}=6\sqrt{2}$$\Leftrightarrow\sqrt{\left(x+2\right)^2+\left(y-1\right)^2}+\sqrt{\left(4-x\right)^2+\left(7-y\right)^2}=6\sqrt{2}\left(^∗\right)$Xét hai vectơ $\overrightarrow{u}=\left(x+2;y-1\right)$và $\overrightarrow{v}=\left(4-x;7-y\right)$Ta có: $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=\left(6;6\right)\Rightarrow\left|\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\right|=\sqrt{6^2+6^2}=6\sqrt{2}$Do vậy $\left(^∗\right)$trở thành$\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=\left|\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\right|$Điều này xảy ra khi và chỉ khi $\overrightarrow{u}$và $\overrightarrow{v}$cùng hướng$\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(x+2\right)\left(7-y\right)=\left(y-1\right)\left(4-x\right)\\left(x+2\right)\left(4-x\right)\ge0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=x+3\-2\le x\le4\end{cases}}$Khi y = x + 3 thì $x^2+y^2-2x+2y+2=2x^2+6x+17$Xét hàm số $f\left(x\right)=2x^2+6x+17$trên đoạn $\left[-2;4\right]$Ta có: $-\frac{6}{2.2}=\frac{-3}{2}\in\left[-2;4\right]$và $f\left(-2\right)=13;f\left(-\frac{3}{2}\right)=\frac{25}{2};f\left(4\right)=73$Suy ra $|^{min}_{\left[-2;4\right]}f\left(x\right)=\frac{25}{2}$;$|^{max}_{\left[-2;4\right]}f\left(x\right)=73$Do đó $m=\frac{25}{2};M=73$và $n+M=\frac{171}{2}$Vậy $n+M=\frac{171}{2}$Câu trả lời: Ta có: $\sqrt{x^2+y^2+4x-2y+5}+\sqrt{x^2+y^2-8x-14y+65}=6\sqrt{2}$$\Leftrightarrow\sqrt{\left(x+2\right)^2+\left(y-1\right)^2}+\sqrt{\left(4-x\right)^2+\left(7-y\right)^2}=6\sqrt{2}\left(^∗\right)$Xét hai vectơ $\overrightarrow{u}=\left(x+2;y-1\right)$và $\overrightarrow{v}=\left(4-x;7-y\right)$Ta có: $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=\left(6;6\right)\Rightarrow\left|\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\right|=\sqrt{6^2+6^2}=6\sqrt{2}$Do vậy $\left(^∗\right)$trở thành$\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=\left|\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\right|$Điều này xảy ra khi và chỉ khi $\overrightarrow{u}$và $\overrightarrow{v}$cùng hướng$\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(x+2\right)\left(7-y\right)=\left(y-1\right)\left(4-x\right)\\left(x+2\right)\left(4-x\right)\ge0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=x+3\-2\le x\le4\end{cases}}$Khi y = x + 3 thì $x^2+y^2-2x+2y+2=2x^2+6x+17$Xét hàm số $f\left(x\right)=2x^2+6x+17$trên đoạn $\left[-2;4\right]$Ta có: $-\frac{6}{2.2}=\frac{-3}{2}\in\left[-2;4\right]$và $f\left(-2\right)=13;f\left(-\frac{3}{2}\right)=\frac{25}{2};f\left(4\right)=73$Suy ra $|^{min}_{\left[-2;4\right]}f\left(x\right)=\frac{25}{2}$;$|^{max}_{\left[-2;4\right]}f\left(x\right)=73$Do đó $m=\frac{25}{2};M=73$và $n+M=\frac{171}{2}$Vậy $n+M=\frac{171}{2}$

Chúng tôi đề xuất

Tài nguyên

Ứng dụng mobile

Bảng xếp hạng

Các khóa học có thể bạn quan tâm

Yêu cầu VIP