+) ABCD là hình thoi nên cũng là hình bình hành

 Áp dụng quy tắc hình bình hành ta có:

 \(\overrightarrow p  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AC} \)

 \(\Rightarrow  |\overrightarrow p|  = | \overrightarrow {AC}| =AC \)

+) \(\overrightarrow u  = \overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {DB} \)

 \(\Rightarrow  |\overrightarrow u|  = | \overrightarrow {DB}| =DB\)

+) \(\overrightarrow v  = 2\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {AB}  + \left( {\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AC} } \right) = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CB} \)\( = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {DA}  = \overrightarrow {DB} \)

 \(\Rightarrow  |\overrightarrow v|  = | \overrightarrow {DB}| =DB\)

+ Tính \(AC, DB\)

Tam giác ABD có \(AB=AD=a, \widehat A = 60^o\) nên nó là tam giác đều. Do đó DB = a.

Gọi O là giao điểm hai đường chéo.

Ta có: \(AO = AB. \sin B = a. \sin 60^o = \frac {a \sqrt 3}{2} \Rightarrow  AC = a \sqrt 3\)

Vậy \(|\overrightarrow p|  =  a \sqrt 3 ,|\overrightarrow u|  =  a, |\overrightarrow v|  =  a.\)

\(\widehat{BAC}=60^0\Rightarrow\) các tam giác ABC và ACD là các tam giác đều

\(\Rightarrow AC=AB=7\)

\(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=AB.AC.cos\widehat{BAC}=7.7.cos60^0=\dfrac{49}{2}\)

\(\overrightarrow{OA}=-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}\Rightarrow\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{OA}=-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=-\dfrac{49}{4}\)

\(\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{0}\) (do theo tính chất hình thoi ta có \(AC\perp BD\))

\(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{AB}\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}\right)=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}^2=-\dfrac{49}{4}+7^2=\dfrac{147}{4}\)

Chọn A.

Do ABCD là hình thoi, có BAD = 60⁰  nên góc ABC = 120⁰.

Theo định lí hàm cosin, ta có

AC² = AB² + BC² - 2AB.BC.cosABC = 1² + 1² - 2.1.1.cos120⁰ = 3

Suy ra .

Lời giải:

a. $K$ là giao điểm $AC$ và $BD$ thì $K$ là trung điểm mỗi đường và $AC\perp BD$ tại $K$

Vì $ABCD$ là hình thoi nên $\widehat{DAK}=\frac{1}{2}\widehat{A}=30^0$

$\frac{AK}{AD}=\cos \widehat{DAK}=\cos 30^0=\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\Rightarrow AK=\frac{\sqrt{3}}{2}AD=\frac{\sqrt{3}}{2}a$

$\Rightarrow |\overrightarrow{AC}|=AC=2AK=\sqrt{3}a$

b.

$BK=\sqrt{AB^2-AK^2}=\sqrt{a^2-(\frac{\sqrt{3}}{2}a)^2}=\frac{a}{2}$

$S_{ABC}=\frac{BK.AC}{2}=\frac{AH.BC}{2}$

$\Leftrightarrow \frac{a}{2}.\sqrt{3}a=AH.a$

$\Leftrightarrow AH=\frac{\sqrt{3}}{2}a$ hay $|\overrightarrow{AH}|=\frac{\sqrt{3}}{2}a$

Hình vẽ:

Đáp án A