Gọi x₁,x₂ là các nghiệm của phương trình đã cho

Áp dụng hệ thức Vi-et,ta có :

x₁ + x₂ = -5 ; x₁x₂ = -1

gọi y₁,y₂ là các nghiệm của phương trình phải lập,ta được :

y₁ + y₂ = x₁⁴ + x₂⁴ , y₁y₂ = x₁⁴x₂⁴

Ta có : x₁² + x₂² = ( x₁ + x₂ )² - 2x₁x₂ = 25 + 2 - 27

Do đó : y₁ + y₂ = x₁⁴ + x₂⁴ = ( x₁² + x₂² )² - 2x₁²x₂² = 729 - 2 = 727

y₁y₂ = ( x₁x₂ )⁴ = 1

Từ đó pt phải lập có dạng : y² - 727y + 1 = 0

Ta co: P = -1 <0 

=> (1) có 2 nghiệm phân biệt khác dấu 

Gọi hai nghiệm đó là \(x_1;x_2\)

=> \(x_1+x_2=-5;x_1.x_2=-1\)

Ta có: \(\left(x_1.x_2\right)^4=\left(-1\right)^4=1\)

\(\left(x_1\right)^4+\left(x_2\right)^4=\left(x_1^2+x_2^2\right)^2-2x_1^2x_2^2=\left[\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2\right]^2-2x_1^2x_2^2\)

\(=\left[\left(-5\right)^2-2.\left(-1\right)\right]^2-2.\left(-1\right)^2\)

\(=727\)

=> Phương trình có các nghiệm lũy thừa bậc 4 của các nghiệm phương trình (1) là: 

\(x^2-727x+1=0\)

Ta thấy pt(1) có nghiệm do ac = -1 < 0

Gọi x₁ ; x₂ là nghiệm của (1) , ta có : x₁ + x₂ = -5 ; x₁x₂ =-1

Gọi y₁ ; y₂ là các nghiệm của pt cần lập , ta được : y₁ + y₂ = x₁⁴ + x₂² ; y₁y₂ = x₁⁴ . x₂⁴

Ta có : y₁ + y₂ = x₁⁴ + x₂⁴ = ( x₁² + x₂² )² - 2x₁².x₂²

= [( x₁ + x₂ )² - 2x₁x₂ ]² - 2(x₁x₂)² = 729 - 2 = 727

y₁.y₂ = x₁⁴ . x₂⁴ = ( x₁ . x₂ )⁴ = 1

Vậy pt cần lập là y² - 727y + 1 = 0

\(\Delta=5^2+4=29>0\)nên phương trình có hai nghiệm phân biệt \(x_1,x_2\).

Theo Viete: 

\(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=-5\\x_1x_2=-1\end{cases}}\)

\(x_1^4x_2^4=\left(-1\right)^4=1\)

\(x_1^4+x_2^4=\left(x_1^2+x_2^2\right)^2-2x_1^2x_2^2=\left[\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2\right]^2-2x_1^2x_2^2\)

\(=\left(25+2\right)^2-2=727\)

Theo định lí Viete đảo, phương trình bậc hai nhận \(x_1^4,x_2^4\)là nghiệm là: 

\(X^2-727X+1=0\)

câu c trên mạng có mà :v

Gọi x1,x2 là hai nghiệm của pt (1) : x^2 - 97x + a = 0 và x3,x4 là 2 nghiệm của pt (2) : x^2 - x + b = 0 
Theo hệ thức Vi-ét : 
x1 + x2 = 97 và x1.x2 = a 
x3 + x4 = 1 và x3.x4 = b 
Theo đề bài : 
* x1 + x2 = x3^4 + x4^4 
<=> x1 + x2 = (x3^2 + x4^2)^2 - 2.(x3.x4)^2 
<=> x1 + x2 = [(x3 + x4)^2 - 2.x3.x4]^2 - 2(x3.x4)^2 
<=> 97 = (1 - 2b)^2 - 2b^2 
<=> 2b^2 - 4b - 96 = 0 (1) 
* x1.x2 = (x3.x4)^4 
<=> b^4 = a (2) 
Từ (1) được b = 8 hoặc b = -6 
Suy ra a = 4096 hoặc a = 1296 
Thử lại nhận a = 1296 
Nguồn: https://vn.answers.yahoo.com/question/index?qid=20130328075420AAV3DV4

`1)` Ptr có: `\Delta=3^2-4.5.(-1)=29 > 0 =>`Ptr có `2` nghiệm phân biệt

 `=>` Áp dụng Viét có: `{(x_1+x_2=[-b]/a=-3/5),(x_1.x_2=c/a=-1/5):}`

Có: `A=(3x_1+2x_2)(3x_2+x_1)`

     `A=9x_1x_2+3x_1 ^2+6x_2 ^2+2x_1x_2`

    `A=8x_1x_2+3(x_1+x_2)^2=8.(-1/5)+3.(-3/5)^2=-13/25`

Vậy `A=-13/25`

____________________________________________________

`2)` Ptr có: `\Delta'=(-1)^2-7.(-3)=22 > 0=>` Ptr có `2` nghiệm pb

 `=>` Áp dụng Viét có: `{(x_1+x_2=[-b]/a=2/7),(x_1.x_2=c/a=-3/7):}`

Có: `M=[7x_1 ^2-2x_1]/3+3/[7x_2 ^2-2x_2]`

     `M=[(7x_1 ^2-2x_1)(7x_2 ^2-2x_2)+9]/[3(7x_2 ^2-2x_2)]`

    `M=[49(x_1x_2)^2-14x_1 ^2 x_2-14x_1 x_2 ^2+4x_1x_2+9]/[3(7x_2 ^2-2x_2)]`

   `M=[49.(-3/7)^2-14.(-3/7)(2/7)+4.(-3/7)+9]/[3x_2(7x_2-2)]`

   `M=6/[x_2(7x_2-2)]`   `(1)`

Có: `x_1+x_2=2/7=>x_1=2/7-x_2`

 Thay vào `x_1.x_2=-3/7 =>(2/7-x_2)x_2=-3/7`

      `<=>-x_2 ^2+2/7 x_2+3/7=0<=>x_2=[1+-\sqrt{22}]/7`

`@x_2=[1+\sqrt{22}]/7=>M=6/[[1+\sqrt{22}]/7(7 .[1+\sqrt{22}]/2-2)]=2`

`@x_2=[1-\sqrt{22}]/7=>M=6/[[1-\sqrt{22}]/7(7 .[1-\sqrt{22}]/2-2)]=2`

Vậy `M=2`

Theo hệ thức Viet ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{5}{2}\\x_1x_2=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)

Giả sử pt bậc 2 cần tìm có các nghiệm:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_3=\dfrac{x_1}{x_2+1}\\x_4=\dfrac{x_2}{x_1+1}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_3+x_4=\dfrac{x_1}{x_2+1}+\dfrac{x_2}{x_1+1}\\x_3x_4=\left(\dfrac{x_1}{x_2+1}\right)\left(\dfrac{x_2}{x_1+1}\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_3+x_4=\dfrac{x_1^2+x_2^2+x_1+x_2}{x_1x_2+x_1+x_2+1}=\dfrac{\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2+x_1+x_2}{x_1x_2+x_1+x_2+1}\\x_3x_4=\dfrac{x_1x_2}{x_1x_2+x_1+x_2+1}\end{matrix}\right.\)

Thay số:

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_3+x_4=\dfrac{31}{16}\\x_3x_4=\dfrac{1}{8}\end{matrix}\right.\)

Theo định lý Viet đảo, \(x_3;x_4\) là nghiệm của:

\(x^2-\dfrac{31}{16}x+\dfrac{1}{8}=0\Leftrightarrow16x^2-31x+2=0\)

Lời giải:

Theo định lý Viet: $x_1+x_2=\frac{5}{2}=2,5; x_1x_2=\frac{1}{2}=0,5$

Khi đó:

\(\frac{x_1}{x_2+1}.\frac{x_2}{x_1+1}=\frac{x_1x_2}{(x_2+1)(x_1+1)}=\frac{x_1x_2}{x_1x_2+(x_1+x_2)+1}=\frac{0,5}{0,5+2,5+1}=\frac{1}{8}\)

\(\frac{x_1}{x_2+1}+\frac{x_2}{x_1+1}=\frac{x_1^2+x_1+x_2^2+x_2}{(x_1+1)(x_2+1)}=\frac{(x_1+x_2)^2-2x_1x_2+(x_1+x_2)}{x_1x_2+(x_1+x_2)+1}\)

\(=\frac{2,5^2-2.0,5+2,5}{0,5+2,5+1}=\frac{31}{16}\)

Khi đó áp dụng định lý Viet đảo thì $\frac{x_1}{x_2+1}$ và $\frac{x_2}{x_1+1}$ là nghiệm của pt:

$x^2-\frac{31}{16}x+\frac{1}{8}=0$