1.Đặt \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k\Rightarrow a=bk;c=dk\) 

 Ta có :\(\frac{ac}{bd}=\frac{bk.dk}{bd}=k^2\)

\(\frac{a^2+c^2}{b^2+d^2}=\frac{\left(bk\right)^2+\left(dk\right)^2}{b^2+d^2}=\frac{b^2k^2+d^2k^2}{b^2+d^2}=\frac{k^2\left(b^2+d^2\right)}{b^2+d^2}=k^2\)

Vậy \(\frac{ac}{bd}=\frac{a^2+c^2}{b^2+d^2}\)

2.a)   Từ 2a=5b=3c suy ra \(\frac{2a}{30}=\frac{5b}{30}=\frac{3c}{30}\Rightarrow\frac{a}{15}=\frac{b}{6}=\frac{c}{10}\)

Áp dụng t/c của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\frac{a}{15}=\frac{b}{6}=\frac{c}{10}=\frac{a+b-c}{15+6-10}=\frac{-44}{11}=-4\)

Khi đó: \(\frac{a}{15}=-4\Rightarrow a=-4.15=-60\)

\(\frac{b}{6}=-4\Rightarrow b=-4.6=-24\)

\(\frac{c}{10}=-4\Rightarrow c=-40\)

Vậy a=-60;b=-24;c=-40

b) Từ 4x=5y suy ra\(\frac{x}{5}=\frac{y}{4}\)

Đặt \(\frac{x}{5}=\frac{y}{4}=k\)  suy ra x=5k;y=4k

Ta có : 5k.4k=80

           \(\Rightarrow20k^2=80\)

            \(\Rightarrow k^2=4\)

            \(\Rightarrow k=\pm2\)

Với k=2 thì x=5.2=10; y=4.2=8

Với k=-2 thì x=5-(-2)=-10; y=4.(-2)=-8

3. Ta có : |x-2011|+|x-200|=|-x+2022|+|x-200|

Áp dụng t/c của công thức |a|+|b|\(\ge\)|a+b| ta có

\(\left|-x+2011\right|+\left|x-200\right|\ge\left|-x+2011+x-200\right|=1811\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi : (-x+2011)(x-200)\(\ge0\)

Suy ra : \(\orbr{\begin{cases}\hept{\begin{cases}-x+2011\ge0\\x-200\ge0\end{cases}}\\\hept{\begin{cases}-x+2011\le0\\x-200\le0\end{cases}}\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}\hept{\begin{cases}x\le2011\\x\ge200\end{cases}}\\\hept{\begin{cases}x\ge2011\\x\le200\end{cases}}\end{cases}\Rightarrow}200\le x\le2011\frac{ }{ }\)

Vậy GTNN của A bằng 1811 khi và chỉ khi  \(200\le x\le2011\)

4.đề bài thiếu hả ?

1/ Đặt :

\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k\) \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=bk\\c=dk\end{cases}}\)

\(\frac{ac}{bd}=\frac{bk.dk}{bd}=\frac{bd.k^2}{bd}=k^2\left(1\right)\)

\(\frac{a^2+c^2}{b^2+d^2}=\frac{\left(bk\right)^2+\left(dk\right)^2}{b^2+d^2}=\frac{b^2.k^2+d^2.k^2}{b^2+d^2}=\frac{k^2\left(b^2+d^2\right)}{b^2+d^2}=k^2\left(2\right)\)

Từ \(\left(1\right)+\left(2\right)\Leftrightarrowđpcm\)

2/ \(2a=5b=3c\)

\(\Leftrightarrow\frac{2a}{30}=\frac{5b}{30}=\frac{3c}{30}\)

\(\Leftrightarrow\frac{a}{15}=\frac{b}{6}=\frac{c}{10}\)

Theo t/c dãy tỉ số bằng nhau ta có :

\(\frac{a}{15}=\frac{b}{6}=\frac{c}{10}=\frac{a+b-c}{15+6-10}=\frac{-44}{11}=-4\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{a}{15}=-4\\\frac{b}{6}=-4\\\frac{c}{10}=-4\end{cases}}\) \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=-60\\b=-24\\c=-40\end{cases}}\)

Vạy ...

b/ \(4x=5y\)

\(\Leftrightarrow\frac{x}{5}=\frac{y}{4}\)

Đặt : \(\frac{x}{5}=\frac{y}{4}=k\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=5k\\y=4k\end{cases}}\)

Lại có : \(xy=80\)

\(\Leftrightarrow5k.4k=80\)

\(\Leftrightarrow20k=80\)

\(\Leftrightarrow k=4\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=5.4=20\\y=4.4=16\end{cases}}\)

Vậy ...

a)Ta có : \(4x=5y=>\frac{x}{5}=\frac{y}{4}=\frac{2x}{10}\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có : 

\(\frac{x}{5}=\frac{y}{4}=\frac{2x}{10}=\frac{y-2x}{4-10}=\frac{-5}{-6}=\frac{5}{6}\)

Từ \(\frac{x}{5}=\frac{5}{6}=>x=\frac{25}{6}\)

Từ \(\frac{y}{4}=\frac{5}{6}=>y=\frac{10}{3}\)

Có \(2a=5b=3c\Leftrightarrow\frac{2a}{30}=\frac{5b}{30}=\frac{3c}{30}\Leftrightarrow\frac{a}{15}=\frac{b}{6}=\frac{c}{10}\) 

Mà  \(a+b-c=44\). Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có :

\(\frac{a}{15}=\frac{b}{6}=\frac{c}{10}=\frac{a+b-c}{15+6-10}=\frac{44}{11}=4\). Từ đó suy ra :

\(a=15.4=60;b=6.4=24;c=10.4=40\)

Thử lại \(2a=5b=3c=2.60=5.24=3.40=120\left(tm\right)\)

Ta có:

\(2a=5b=3c\)   và   \(a+b-c=44\)

\(\Rightarrow\)\(\frac{2a}{30}=\frac{5b}{30}=\frac{3c}{30}\)

\(\Leftrightarrow\)\(\frac{a}{15}=\frac{b}{6}=\frac{c}{10}\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\frac{a}{15}=\frac{b}{6}=\frac{c}{10}=\frac{a+b-c}{15+6-10}=\frac{44}{11}=4\)

Do đó:

\(\frac{a}{15}=4\Rightarrow a=15.4=60\)

\(\frac{b}{6}=4\Rightarrow b=6.4=24\)

\(\frac{c}{10}=4\Rightarrow c=10.4=40\)

Vậy \(a=60;b=24;c=40\)

a/ Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau,ta có:

a/2=b/3=c/4=a+b-c/2+3-4=20/1=20

Do đó:

a/2=20 suy ra a=20.2=40

b/3=20 suy ra b=20.3=60

c/4=20 suy ra c=20.4=80

Vậy a=40, b=60 và c=80

b/ Tương tự

cứ đặt k là giải đc

ket bn vs mk , mk giai ky cho ^_^

4) 

a) x/5 = y/3

=> 3x = 5y

=> x/y = 5/3

=> x= 16 :(5+3) . 5 = 10 ; y = 16 - 10 =6

=> (x;y) thuộc {(10;6)}

\(\Leftrightarrow\frac{a}{2}=\frac{b}{5}=\frac{c}{3}\)

Theo tính chất DTSBN ta có :

\(\frac{a}{2}=\frac{b}{5}=\frac{c}{3}=\frac{a+b-c}{2+5-3}=\frac{44}{4}=11\)

a/2=11=>a=11.2=22

b/5=11=>b=11.5=55

c/3=11=>c=11.3=33

vậy ...