Gọi H là giao điểm của AB và CD

Nối AC, AD,BC,BD

Xét ΔACD và ΔBCD, ta có:

AC = BC

(bán kính hai cung tròn bằng nhau)

AD = BD

CD cạnh chung

Suy ra: ΔACD = ΔBCD(c.c.c)

Suy ra: ∠C1 = ∠C2 (hai góc tương ứng)

Xét hai tam giác AHC và BHC. Ta có:

AC = BC (bán kính hai cung tròn bằng nhau)

∠C1 = ∠C2 (chứng minh trên)

CH cạnh chung

Suy ra: ΔAHC = ΔBHC(c.g.c)

Suy ra: AH = BH (hai cạnh tương ứng) (1)

Ta có : ∠H1 = ∠H2 (hai góc tương ứng)

∠H1 + ∠H2 =180° (hai góc kề bù)

Suy ra: ∠H1 = ∠H2 = 90o ⇒ CD ⊥ AB (2)

Từ (1) và (2) suy ra CD là đường trung trực của AB

Xét hai tam giác ACD và BCD có:

AC = BC (gt)

AD = BD (gt)

CD: cạnh chung

Vậy: \(\Delta ACD=\Delta BCD\left(c-c-c\right)\)

Suy ra: \(\widehat{C_1}=\widehat{C_2}\) (hai góc tương ứng)

Xét hai tam giác ACH và BCH có:

AC = BC (gt)

\(\widehat{C_1}=\widehat{C_2}\) (cmt)

CH: cạnh chung

Vậy: \(\Delta ACH=\Delta BCH\left(c-g-c\right)\)

Suy ra: \(\widehat{H_1}=\widehat{H_2}\), HA = HB

Mà \(\widehat{H_1}+\widehat{H_2}=180^o\)

Nên \(\widehat{H_1}=\widehat{H_2}\) = 90^o

Do đó: \(CH\perp AB\)

Vì \(CD\perp AB\)và HA = HB nên CD là đường trung trực của AB.

Hướng dẫn, tự vẽ hình:

Trung tâm A và B cùng bán kính

=>  CA = CB  DA = DB

Hai điểm C D cách đều 2 điểm A B nên CD là đường trung trực của AB.

Cung tâm A và cung tâm B có cùng bán kính 

\(\Rightarrow\)CA = CB 

Và DA = DB 

Hai điểm C và D cách đều 2 điểm A và B nên CD là đường trung trực của AB ( đpcm )

Ta có: ΔABC đều, D ∈ AB, DE⊥AB, E ∈ BC
=> ΔBDE có các góc với số đo lần lượt là: 300
; 600
; 900
 => BD=1/2BE
Mà BD=1/3BA => BD=1/2AD => AD=BE => AB-AD=BC-BE (Do AB=BC)
=> BD=CE. 
Xét ΔBDE và ΔCEF: ^BDE=^CEF=900
; BD=CE; ^DBE=^ECF=600
=> ΔBDE=ΔCEF (g.c.g) => BE=CF => BC-BE=AC-CF => CE=AF=BD
Xét ΔBDE và ΔAFD: BE=AD; ^DBE=^FAD=600
; BD=AF => ΔBDE=ΔAFD (c.g.c)
=> ^BDE=^AFD=900
 =>DF⊥AC (đpcm).
b) Ta có: ΔBDE=ΔCEF=ΔAFD (cmt) => DE=EF=FD (các cạnh tương ứng)
=> Δ DEF đều (đpcm).
c) Δ DEF đều (cmt) => DE=EF=FD. Mà DF=FM=EN=DP => DF+FN=FE+EN=DE+DP <=> DM=FN=EP
Lại có: ^DEF=^DFE=^EDF=600=> ^PDM=^MFN=^NEP=1200
 (Kề bù)
=> ΔPDM=ΔMFN=ΔNEP (c.g.c) => PM=MN=NP => ΔMNP là tam giác đều.
d) Gọi AH; BI; CK lần lượt là các trung tuyến của  ΔABC, chúng cắt nhau tại O.
=> O là trọng tâm ΔABC (1)
Do ΔABC đều nên AH;BI;BK cũng là phân giác trong của tam giác => ^OAF=^OBD=^OCE=300
Đồng thời là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác => OA=OB=OC
Xét 3 tam giác: ΔOAF; ΔOBD và ΔOCE:
AF=BD=CE
^OAF=^OBD=^OCE      => ΔOAF=ΔOBD=ΔOCE (c.g.c)
OA=OB=OC
=> OF=OD=OE => O là giao 3 đường trung trực  Δ DEF hay O là trọng tâm Δ DEF (2)
(Do tam giác DEF đề )
/

(Do tam giác DEF đều)
Dễ dàng c/m ^OFD=^OEF=^ODE=300
 => ^OFM=^OEN=^ODP (Kề bù)
Xét 3 tam giác: ΔODP; ΔOEN; ΔOFM:
OD=OE=OF
^ODP=^OEN=^OFM          => ΔODP=ΔOEN=ΔOFM (c.g.c)
OD=OE=OF (Tự c/m)
=> OP=ON=OM (Các cạnh tương ứng) => O là giao 3 đường trung trực của  ΔMNP
hay O là trọng tâm ΔMNP (3)
Từ (1); (2) và (3) => ΔABC; Δ DEF và ΔMNP có chung trọng tâm (đpcm).